Az A. 938. feladat (2026. szeptember)

A. 938. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle 10\)-es számrendszerben felírt

\(\displaystyle 1\underbrace{000\ldots00}_{2026}\underbrace{999\ldots99}_{2026} \)

szám minden osztója \(\displaystyle 1\)-esre vagy \(\displaystyle 9\)-esre végződik (szintén \(\displaystyle 10\)-es számrendszerben felírva).

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(7 pont)

A beküldési határidő 2026. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle n=10^{2026}\), és vizsgáljuk a kérdésben szereplő \(\displaystyle A=n^2+n-1\) szám prímosztóit. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle p\) prímszám, és \(\displaystyle p|A\). Mivel \(\displaystyle A\equiv-1\pmod{10}\), a \(\displaystyle p\) nem lehet \(\displaystyle 2\) vagy \(\displaystyle 5\).

Vegyük észre, hogy \(\displaystyle p|4A=(2n+1)^2-5\), azaz \(\displaystyle (2n+1)^2\equiv5\pmod{p}\), azaz az \(\displaystyle 5\) kvadratikus maradék modulo \(\displaystyle p\). Mivel \(\displaystyle p\) páratlan, a Gauss-féle kvadratikus reciprocitás tétele alapján

\(\displaystyle \Bigg(\frac{5}{p}\Bigg)\Bigg(\frac{p}{5}\Bigg)=(-1)^{\frac{5-1}{2}\frac{p-1}{2}}=1, \quad\text{tehát}\quad \Bigg(\frac{p}{5}\Bigg)=\Bigg(\frac{5}{p}\Bigg)=1, \)

vagyis a \(\displaystyle p\) kvadratikus maradék modulo \(\displaystyle 5\).

Mivel a kvadratikus maradékok modulo \(\displaystyle 5\) a \(\displaystyle 0\), az \(\displaystyle 1\) és a \(\displaystyle 4\), így ha \(\displaystyle p\)-re nézve az \(\displaystyle 5\) kvadratikus maradék, akkor \(\displaystyle p\equiv 0\), \(\displaystyle p\equiv 1\) vagy \(\displaystyle p\equiv 4\pmod{5}\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle p\) nem lehet \(\displaystyle 5\). Ha \(\displaystyle p\equiv1\pmod5\), akkor mivel páratlannak is kell lennie, így \(\displaystyle p\equiv1\pod{10}\), tehát \(\displaystyle 1\)-re végződik. Ha pedig \(\displaystyle p\equiv4\pmod5\), akkor megint a \(\displaystyle p\) páratlansága miatt \(\displaystyle p\equiv9\pmod{10}\), azaz a \(\displaystyle p\) szám \(\displaystyle 9\)-re végződik. Tehát beláttuk, hogy az \(\displaystyle A\) minden prímosztója \(\displaystyle 1\)-re vagy \(\displaystyle 9\)-re végződik.

Az \(\displaystyle A\) szám minden osztója előáll, mint az \(\displaystyle A\) néhány prímosztójának szorzata. Mivel \(\displaystyle 1\)-re és \(\displaystyle 9\)-re végződő számok szorzata is \(\displaystyle 1\)-re vagy \(\displaystyle 9\)-re végződik, az \(\displaystyle A\) osztói is \(\displaystyle 1\)-re vagy \(\displaystyle 9\)-re végződnek. Ezzel a feladat állítását beláttuk.

Statisztika:

47 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Balla Ignác , Benedek Olivér , Bense Tamás, Bodor Ádám, Bui Thuy-Trang Nikolett, Deli Ádám, Ercse Ferenc, Gaál Gergely, Hajba Milán, Kis Ágoston, Kocsis Mátyás, Kozma Sándor, Lazur András, Li Mingdao, Máté Marcell, Mihály Zsolt, Miszori Márton, Molnár-Sáska Tamás, Morvai Várkony Albert, Nagypál Katóca, Pázmándi József Áron, Phát Phan Tấn, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sami El-Hajjar, Sha Jingyuan, Szabó 721 Sámuel, Szemán Gergő, Takács András, Thông, Đình Tuấn, Bùi, Várhegyi Hanna, Varsányi Benedek, Vi Khanh Tran, Vödrös Dániel László, Warren Maximilian Lin, Yao Chenhao	(36 versenyző).
6 pontot kapott:	Farkas Bálint	(1 versenyző).
5 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2026. szeptemberi matematika feladatai