A B. 3815. feladat (2005. április)

B. 3815. Egy sík metszi a térbeli, zárt P₁P₂...P_nP₁ töröttvonal mindegyik szakaszát, a P_iP_i+1 szakaszt annak belső Q_i pontjában. Igazoljuk, hogy

$\frac{P_1Q_1}{Q_1P_2}\cdot\frac{P_2Q_2}{Q_2P_3}\cdot\ldots\cdot \frac{P_{n-1}Q_{n-1}}{Q_{n-1}P_n}\cdot\frac{P_nQ_n}{Q_nP_1}=1.$

(3 pont)

A beküldési határidő 2005. május 17-én LEJÁRT.

Megoldás. A P_i pontnak a síkra vonatkozó vetülete legyen R_i. A P_n+1=P₁ jelöléssel élve látható, hogy $i=1,2,\ldots, n$ esetén P_iQ_i:P_i+1Q_i=P_iR_i:P_i+1R_i+1, amint az leolvasható az esetleg elfajuló P_iQ_iR_i és P_i+1Q_iR_i+1 háromszögek hasonlóságából. Ezért a szóban forgó szorzat értéke

${P_1Q_1\over Q_1P_2}\cdot{P_2Q_2\over Q_2P_3}\ldots {P_nQ_n\over Q_nP_{n+1}}= {P_1R_1\over P_2R_2}\cdot{P_2R_2\over P_3R_3}\ldots {P_nR_n\over P_{n+1}R_{n+1}}= {P_1R_1\over P_{n+1}R_{n+1}}=1.$

Statisztika:

58 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: Antal Bálint, Balambér Dávid, Berinkei Péter, Bitai Tamás, Bock Lilla, Csaba Ákos, Cserép Gergely, Eisenberger András, Estélyi István, Fegyveres György, Fegyverneki Tamás, Fischer Richárd, Gehér György, Grósz Dániel, Győrffy Lajos, Györgyi Péter, Halász Veronika, Hartmann Zoltán, Kara Márton, Kiss 111 Viktor, Kiss 243 Réka, Knipl Diána, Kokavecz János, Kómár Péter, Kovács 129 Péter, Kovács 456 Balázs, Laczák Lili, Lamm Éva, Lorántfy Bettina, Lovász László Miklós, Lukucz Balázs, Mátyás Péter, Müller Márk, Nagy 235 János, Nagy-Baló András, Novák 125 Zsófia, Pap Máté, Pesti Veronika, Sommer Dániel, Sóvágó Sándor, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szentandrási István, Szirmai Péter, Szudi László, Tóth 796 Balázs, Tóthmérész Lilla, Varga 111 Péter.

2 pontot kapott: 4 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

A KöMaL 2005. áprilisi matematika feladatai

58 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Antal Bálint, Balambér Dávid, Berinkei Péter, Bitai Tamás, Bock Lilla, Csaba Ákos, Cserép Gergely, Eisenberger András, Estélyi István, Fegyveres György, Fegyverneki Tamás, Fischer Richárd, Gehér György, Grósz Dániel, Győrffy Lajos, Györgyi Péter, Halász Veronika, Hartmann Zoltán, Kara Márton, Kiss 111 Viktor, Kiss 243 Réka, Knipl Diána, Kokavecz János, Kómár Péter, Kovács 129 Péter, Kovács 456 Balázs, Laczák Lili, Lamm Éva, Lorántfy Bettina, Lovász László Miklós, Lukucz Balázs, Mátyás Péter, Müller Márk, Nagy 235 János, Nagy-Baló András, Novák 125 Zsófia, Pap Máté, Pesti Veronika, Sommer Dániel, Sóvágó Sándor, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szentandrási István, Szirmai Péter, Szudi László, Tóth 796 Balázs, Tóthmérész Lilla, Varga 111 Péter.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?