Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3925. feladat (2006. szeptember)

B. 3925. Az ABC körív F felezőpontjának az ABC töröttvonalon levő merőleges vetületét jelölje T. Bizonyítsuk be, hogy T felezi a töröttvonal hosszát.

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. október 16-án LEJÁRT.


Megoldás: Jelölje a BAC szög nagyságát \alpha, a BCA szögét \gamma. Az ábrának megfelelően \alpha>\gamma. Az F ponton keresztül a BC húrral párhuzamos egyenes a körívet egy további F' pontban metszi, melynek vetülete a BC szakaszra legyen T'. A BC egyenesen a B,T,T',C pontok ebben a sorrendben követik egymást. Mivel BT=T'C és TT'=FF', elegendő az AB=FF' állítást igazolni. A kerületi szögek tétele értelmében ez egyenértékű azzal, hogy a C pontból az FF' húr is \gamma szög alatt látszik.

Az AFC szög nagysága, akárcsak az ABC szögé, 180o-\alpha-\gamma, ezért az FCA, az FAC és így az FBC és F'CB szög is egyaránt (\alpha+\gamma)/2. Ezért az FCB szög (\alpha-\gamma)/2, és így az F'CF szög valóban \gamma.


Statisztika:

214 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:148 versenyző.
3 pontot kapott:34 versenyző.
2 pontot kapott:13 versenyző.
1 pontot kapott:10 versenyző.
0 pontot kapott:9 versenyző.

A KöMaL 2006. szeptemberi matematika feladatai