A B. 3992. feladat (2007. április)

B. 3992. Néhányan paintball-ütközetet vívnak egymással. Egy adott helyzetben egymástól való távolságaik mind különbözők. Ekkor mindenki rálő a hozzá legközelebb álló emberre. Legfeljebb hányan lőhetnek ugyanarra az emberre?

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Tegyük fel, hogy az A és a B pontban álló ember is a C pontban állóra lő, és a=BC<AC=b. Ekkor persze c=AB>b. Tegyük fel még azt is, hogy az ABC szög, 60^o. (0^o nyilván nem lehet, mert akkor c=b-a lenne.) Az ABC háromszögre a koszinusz-tételt felírva

c²=a²+b²-2abcos a²+b²-ab=a(a-b)+b²<b²<c²

következne, ami ellentmondás.

Ha tehát többen is lőnek ugyanarra az emberre, akkor ezen lövések közül bármely kettő pályája több, mint 60^o-os szöget zár be, vagyis legfeljebb öten lőhetnek ugyanarra az emberre. Ez meg is valósulhat: ha hat ember játszik úgy, hogy öten egy szabályos ötszög csúcsaiban állnak, míg a hatodik a középpontjában, majd egy picit elmozdulnak úgy, hogy távolságaik mind különbözők legyenek, akkor az első öt játékos mindegyike a hatodik játékosra fog lőni. A gondolat egy konkrét megvalósítása a következő lehet. Egy szabályos ötszög oldalai hosszabbak, mint a középpontnak a csúcsoktól vett távolsága. Válasszunk egy olyan szabályos ötszöget, amelynek oldala 10 lépéssel hosszabb, mint a csúcsoknak a középponttól vett távolsága. A csúcsokban álló játékosok távolodjanak el a középpontban álló hatodik játékostól az őket azzal összekötő egyenes mentén rendre 1,2,3,4, illetve 5 lépéssel. Ezzel egymástól vett távolságuk csak nő, tehát közülük bármely kettő messzebb lesz egymástól, mint akármelyikük a hatodik játékostól. Könnyű ellenőrizni, hogy egymás közötti távolságaik is mind különbözők lesznek.

Statisztika:

127 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	64 versenyző.
3 pontot kapott:	29 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.

A KöMaL 2007. áprilisi matematika feladatai