![]() |
A B. 4017. feladat (2007. szeptember) |
B. 4017. A k1 kört a k2 kör belülről érinti az A pontban. A k2 körhöz egy A-tól különböző D pontjában húzott érintő a k1 kört a B és a C pontokban metszi. Bizonyítsuk be, hogy AD felezi a BAC szöget.
(4 pont)
A beküldési határidő 2007. október 15-én LEJÁRT.
Megoldás: A k1 kör középpontját jelölje O, a k2-ét K, ekkor az A,K,O pontok egy egyenesre esnek. Ha a D pont is erre az egyenesre illeszkedik, akkor az állítás nyilvánvaló. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük hát, hogy D közelebb van B-hez, mint C-hez. Az OAC, OCB, OBA és KDA háromszögek egyenlőszárúak. Legyen tehát
és ADK=KAD
=
. Irányított szögekkel számolunk, tehát ha C az AO egyenesnek ugyanarra az oldalára esik, mint B, akkor az
szög negatív. Tudjuk még, hogy a BDK és KDC szög is derékszög. Az ADB és az ADC háromszög szögeinek összege is 180o, vagyis
(-
)+(90o-
)+(
+
)=(
+
)+(90o+
)+(
+
).
Innen 2-2
=2
+2
, tehát DAB
=
-
=
+
=CAD
, amint azt bizonyítani kellett.
Statisztika:
157 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 132 versenyző. 3 pontot kapott: 11 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 5 dolgozat.
A KöMaL 2007. szeptemberi matematika feladatai