Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4046. feladat (2007. december)

B. 4046. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

a\sqrt a+b\sqrt b =183,

a\sqrt b+b\sqrt a =182.

(3 pont)

A beküldési határidő 2008. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Az x=\sqrt{a}, y=\sqrt{b} helyettesítéssel az egyenletek x3+y3=183 és x2y+xy2=182 lesznek. Az első egyenlethez a második háromszorosát hozzádva

(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3=183+3.182=729,

ahonnan x+y=9 és

xy=\frac{x^2y+xy^2}{x+y}=\frac{182}{9},

vagyis x és y éppen a z^2-9z+\frac{182}{9}=0 másodfokú egyenlet két gyöke kell legyen. Innen

\{x,y\}=\Bigl\{ \frac{13}{3},\frac{14}{3}\Bigr\},\quad \{a,b\}=\Bigl\{ \frac{169}{9},\frac{196}{9}\Bigr\}

lehet csak, és mindkét így kapott számpár valóban megoldása az egyenletrendszernek.

Statisztika:

187 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:166 versenyző.
2 pontot kapott:9 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:6 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.

A KöMaL 2007. decemberi matematika feladatai