A B. 4050. feladat (2007. december)

B. 4050. Mutassuk meg, hogy az x³-x²-2x+1=0 egyenletnek van két olyan valós gyöke, a és b, amelyekre a-ab=1.

Javasolta: Pataki János (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Mivel az f(x)=x³-x²-2x+1 függvény a -2 és az 1 helyen negatív, a 0 és a 2 helyeken pedig pozitív értékeket vesz fel, az egyenletnek három különböző valós gyöke van. Jelölje ezeket p,q,r. Azt fogjuk belátni, hogy p-pq és p-pr közül valamelyik 1-gyel egyenlő, ebből három megfelelő a,b gyökpár létezése is következik. A gyökök és együtthatók közötti összefüggés szerint p+q+r=1, pq+qr+rp=-2 és pqr=-1. Ezek alapján

(p-1)+(q-1)+(r-1)=(p+q+r)-3=-2,

(p-1)(q-1)+(q-1)(r-1)+(r-1)(p-1)=(pq+qr+rp)-2(p+q+r)+3=-1

és

(p-1)(q-1)(r-1)=pqr-(pq+qr+rp)+(p+q+r)-1=1

következik, vagyis a páronként különböző p-1, q-1 és r-1 számok éppen az

x³+2x²-x-1=0

egyenlet gyökei. Az egymástól szintén különböző pq, qr és rp számok összege -2, szorzata (pqr)²=1, és ezenkívül

(pq)(qr)+(qr)(rp)+(rp)(pq)=rpq(r+p+q)=-1

teljesül, vagyis ez a három szám is éppen az előbb felírt harmadfokú egyenlet három gyöke. Ezért p-1 megegyezik a pq,qr,rp számok valamelyikével. Ha p-1=qr lenne, akkor qr=-1/p miatt p megoldása lenne az x²-x+1=0 egyenletnek, amelynek viszont nincsen valós megoldása. Ezért vagy p-1=pq, vagy p-1=rp teljesül. Az első esetben p-pq=1, a másodikban p-pr=1, ahogyan azt állítottuk.

Statisztika:

85 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	55 versenyző.
4 pontot kapott:	22 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2007. decemberi matematika feladatai