A B. 4147. feladat (2009. január)

B. 4147. Igazoljuk, hogy minden derékszögű háromszög kiegészíthető egy téglalappá az oldalaira emelt, egymáshoz hasonló derékszögű háromszögekkel.

(3 pont)

A beküldési határidő 2009. február 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Válasszuk ki az ABC derékszögű háromszög egyik hegyesszögű csúcsát (A), és az erre illeszkedő külső szögfelezőre állítsunk merőlegest a másik két csúcsból az ábra szerint. Ezek talppontját jelölje X és Y. Így az egymáshoz hasonló ABX és ACY derékszögű háromszögekhez jutunk. A B csúcsból az YC egyenesre állított merőleges talppontja legyen Z. Mivel az XBC szög nagysága /2+<90^o, a C derékszögű csúcs a ZY szakasz belső pontja lesz. Minthogy pedig az ACY és BCZ szögek derékszögre egészítik ki egymást, a CBZ derékszögű háromszög is hasonló ACY-hoz, az ABC háromszöget ezzel a három egymáshoz hasonló derékszögű háromszöggel kiegészítve az XYZB téglalapot nyerjük.

Statisztika:

109 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	78 versenyző.
2 pontot kapott:	23 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2009. januári matematika feladatai