Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4179. feladat (2009. április)

B. 4179. Egy parabola C csúcsa egy olyan körnek a középpontja, amely átmegy a parabola F fókuszán. Legyenek a parabola és a kör metszéspontjai A és B, az AB és a CF metszéspontja E, a kör F-fel átellenes pontja D. Mutassuk meg, hogy a kör átmérőjének és FE-nek mértani közepe DE.

(3 pont)

A beküldési határidő 2009. május 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Mivel bármely két parabola hasonló, feltehetjük, hogy az y=x2 egyenletű paraboláról van szó. Ekkor a C pont az origó, a fókusz koordinátái F(0;1/4), vagyis a kör egyenelete x2+y2=1/16, a D pont koordinátai pedig D(0;-1/4). Az A,B metszéspontok második koordinátája pozitív és kielégíti az y+y2=1/16 egyenletet. Az E(0;t) pont az AB szakasz felezőpontja, ezért a t számra szintén teljesül t+t2=1/16. Ennélfogva

DE^2=\Bigl(\frac{1}{4}+t\Bigr)^2=\frac{1}{2}\cdot\Bigl(\frac{1}{4}-t\Bigr)
=DF\cdot FE,

ahogyan azt bizonyítani kellett.


Statisztika:

62 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:Beke Lilla, Béres Ferenc, Botos Csongor, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Cséke Balázs, Damásdi Gábor, Deák Gábor, Dinh Hoangthanh Attila, Dunay Luca, Gudenus Balázs, Gyarmati Máté, Horowitz Gábor, Janosov Milán, Janzer Olivér, Jernei Tamás, Kiss 232 Dóra, Korondi Zénó, Kovács 999 Noémi, Köpenczei Gergő, Lantos Tamás, Lenger Dániel, Loose Lilla, Lovas Lia Izabella, Matyuska Péter, Mezei Márk, Molnár Gabriella, Nagy 123 Balázs, Nagy Róbert, Németh 217 Balázs, Németh Bence, Paripás Viktor, Rábai Domonkos, Remete László, Szabó 928 Attila, Szakács Enikő, Szepcsik Áron, Tóth 222 Barnabás, Török 999 Csaba, Udvari Benjámin, Varju 105 Tamás, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Welsz Edit, Zsakó András.
2 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:6 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2009. áprilisi matematika feladatai