A B. 4221. feladat (2009. november)

B. 4221. Mutassuk meg, hogy ha az r sugarú körbe írt szabályos 18-szög oldala a, akkor a³+r³=3ar².

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A kör középpontját a csúcsokkal összekötő szakaszok a sokszöget 18 darab olyan egyenlő szárú háromszögre bontják, melyeknek alapja \(\displaystyle a\), szára \(\displaystyle r\) hosszúságú, csúcsszöge pedig \(\displaystyle 20^\circ\). Ezért \(\displaystyle a=2r\sin10^\circ\), a bizonyítandó állítás pedig \(\displaystyle r^3\)-nal történő leosztás után \(\displaystyle 8\sin^310^\circ+1=6\sin10^\circ\) alakra hozható. Mivel az addíciós képletek és a trigonometrikus Pithagorasz-tétel szerint

\(\displaystyle \sin3\alpha=\sin2\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos2\alpha= 3\cos^2\alpha\sin\alpha-\sin^3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha,\)

látható, hogy \(\displaystyle 6\sin10^\circ-8\sin^310^\circ=2\sin30^\circ=1\), amint azt bizonyítani kívántuk.

Statisztika:

128 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	102 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	18 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2009. novemberi matematika feladatai