A B. 4364. feladat (2011. május)

B. 4364. Legyen abc>0. Igazoljuk, hogy

Javasolta: Mészáros József (Jóka)

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel

\(\displaystyle \frac{a+b}{c}\ge \frac{2c}{c}=2,\quad \frac{b+c}{a}\le \frac{2a}{a}=2\quad {\rm és}\quad \frac{a+c}{b}>\frac{a}{b}\ge 1,\)

a bal oldalon álló kifejezés átalakításával kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{a^{2}-b^{2}}{c}+\frac{c^{2}-b^{2}}{a}+\frac{a^{2}-c^{2}}{b}= \frac{(a-b)(a+b)}{c}-\frac{(b-c)(b+c)}{a}+\frac{(a-c)(a+c)}{b}\ge \)

\(\displaystyle \ge 2(a-b)-2(b-c)+(a-c)=3a-4b+c.\)

A megoldásból az is leolvasható, hogy egyenlőség csak az \(\displaystyle a-c=0\) esetben léphet fel, vagyis amikor mind a három szám egyenlő.

Statisztika:

29 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bogár Blanka, Csősz Gábor, Dinev Georgi, Dolgos Tamás, Emri Tamás, Fonyó Viktória, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Kenéz Balázs, Lenger Dániel, Mátrahegyi Roland, Medek Ákos, Mihálykó András, Nagy Róbert, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Strenner Péter, Szilágyi Gergely Bence, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Weimann Richárd, Weisz Ambrus, Weisz Gellért, Zelena Réka, Zilahi Tamás.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2011. májusi matematika feladatai