Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4371. feladat (2011. május)

B. 4371. Igazoljuk, hogy


\frac{1}{\sin^2{\frac{\pi}{14}}} + \frac{1}{\sin^2{\frac{3\pi}{14}}} +
\frac{1}{\sin^2{\frac{5\pi}{14}}} = 24.

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. június 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Felhasználva a \(\displaystyle 2\sin^2x=1-\cos 2x\) azonosságot, felszorzás után a bizonyítandó egyenlőséget

\(\displaystyle 2\left(1-\cos\frac{\pi}{7}\right)\left(1-\cos\frac{3\pi}{7}\right)+ 2\left(1-\cos\frac{\pi}{7}\right)\left(1-\cos\frac{5\pi}{7}\right)+\)

\(\displaystyle +2\left(1-\cos\frac{3\pi}{7}\right)\left(1-\cos\frac{5\pi}{7}\right)= 24\left(1-\cos\frac{\pi}{7}\right)\left(1-\cos\frac{3\pi}{7}\right) \left(1-\cos\frac{5\pi}{7}\right)\)

alakra hozhatjuk. A \(\displaystyle 2\cos\alpha \cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+ \cos(\alpha-\beta)\) azonosság és a \(\displaystyle \cos x=\cos(-x)= -\cos(\pi+x)=-\cos(\pi-x)\) összefüggés alapján a bal oldalon álló kifejezés

\(\displaystyle 6-4\cos\frac{\pi}{7}-4\cos\frac{3\pi}{7}-4\cos\frac{5\pi}{7} +\left(\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}\right) +\left(\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}\right)+\)

\(\displaystyle +\left(\cos\frac{8\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}\right)= 6-6\cos\frac{\pi}{7}+6\cos\frac{2\pi}{7}-6\cos\frac{3\pi}{7},\)

míg a jobb oldalon álló

\(\displaystyle 24-24\cos\frac{\pi}{7}-24\cos\frac{3\pi}{7}-24\cos\frac{5\pi}{7} +12\left(\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}\right) +12\left(\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}\right)+\)

\(\displaystyle +12\left(\cos\frac{8\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}\right)- 12\left(\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}\right)\cos\frac{3\pi}{7} =24-48\cos\frac{\pi}{7}+\)

\(\displaystyle +48\cos\frac{2\pi}{7}-48\cos\frac{3\pi}{7} -6\left\{\left(\cos\frac{9\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}\right) +\left(\cos\frac{7\pi}{7}+\cos\frac{\pi}{7}\right)\right\}=\)

\(\displaystyle =30-56\cos\frac{\pi}{7}+56\cos\frac{2\pi}{7}-56\cos\frac{3\pi}{7}\)

alakba írható át. átrendezés és 12-vel való leosztás után tehát a bizonyítandó egyenlőség az

\(\displaystyle 1-2\cos\frac{\pi}{7}+2\cos\frac{2\pi}{7}-2\cos\frac{3\pi}{7}=0\)

alakot ölti. Ezt azonban a fenti átalakításokhoz hasonlóan

\(\displaystyle 1+\left(\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{8\pi}{7}\right)+ \left(\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{12\pi}{7}\right)+ \left(\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{10\pi}{7}\right)=0\)

formában is felírhatjuk, ami viszont speciális esete annak az azonosságnak, amelyet az áprilisi szám B. 4361. feladatának megoldása végén igazoltunk.


Statisztika:

20 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Baráti László, Boér Lehel, Bogár Blanka, Damásdi Gábor, Dinev Georgi, Dolgos Tamás, Fonyó Viktória, Frittmann Júlia, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Lenger Dániel, Máthé László, Nagy 111 Miklós, Perjési Gábor, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Tran Trong Hoang Tuan, Zilahi Tamás.
1 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2011. májusi matematika feladatai