Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4411. feladat (2011. december)

B. 4411. Két egyenes körkúp tengelye párhuzamos, a nyílásszögük különböző. Bizonyítsuk be, hogy közös pontjaik egy gömbön vannak.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Vegyük fel úgy a derékszögű \(\displaystyle (x,y,z)\)-koordinátarendszert, hogy az első kúp csúcsa az origóba essen, tengelye pedig egybeessen a \(\displaystyle z\)-tengellyel. Tegyük fel, hogy ennek a kúpnak az alkotói a \(\displaystyle z\)-tengellyel \(\displaystyle \alpha\) szöget zárnak be. Ekkor a kúpnak a \(\displaystyle z=t\) síkkal vett metszete egy olyan körvonal, melynek sugara \(\displaystyle (\tg\alpha)t\), a \(\displaystyle t=0\) esetben ez egy ponttá fajul el. A kúp egyenlete tehát \(\displaystyle x^2+y^2=Az^2\), ahol \(\displaystyle A=\tg^2\alpha\ne 0\). Ha a másik kúp csúcsának koordinátái \(\displaystyle (a,b,c)\), alkotóinak a tengellyel bezárt szöge pedig \(\displaystyle \beta\), akkor ennek a kúpnak az egyenlete

\(\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=B(z-c)^2,\)

ahol \(\displaystyle B=\tg^2\beta\ne 0\), és az \(\displaystyle \alpha\ne \beta\) feltétel miatt \(\displaystyle A\ne B\).

Szorozzuk be az \(\displaystyle x^2+y^2-Az^2\) egyenletet egy \(\displaystyle \lambda\), az \(\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2-B(z-c)^2=0\) egyenletet pedig egy \(\displaystyle \mu\) számmal úgy, hogy azokat összeadva \(\displaystyle x^2,y^2\) és \(\displaystyle z^2\) együtthatója egyaránt 1 legyen. Ehhez a \(\displaystyle \lambda+\mu=-A\lambda-B\mu=1\) feltételeket kell kielégíteni, ami a

\(\displaystyle \lambda=\frac{1+B}{B-A},\quad \mu=\frac{-1-A}{B-A}\)

választással valósítható meg. A két körkúp metszéspontjainak koordinátái tehát kielégítik az így kapott

\(\displaystyle (x^2-2\mu ax+\mu a^2)+(y^2-2\mu b y+\mu b^2)+(z^2+2\mu Bcz-\mu Bc^2)=0\)

egyenletet. A metszéspontok tehát rajta vannak az

\(\displaystyle (x-\mu a)^2+(y-\mu b)^2+(z+\mu Bc)^2= (\mu^2-\mu)a^2+(\mu^2-\mu)b^2+(\mu^2B^2+\mu B)c^2\)

egyenletű, esetleg elfajuló gömbön. Nem nehéz ellenőrizni, hogy \(\displaystyle \mu^2-\mu\) és \(\displaystyle \mu^2B^2+\mu B\) is pozitív, tehát a gömb soha nem üres halmaz és egy ponttá is csak az \(\displaystyle a=b=c=0\) esetben (vagyis ha a két kúp csúcspontja egybeesik) fajulhat el, de ez az állítás szempontjából lényegtelen, hiszen az üres halmaz és akármely egypontú halmaz is tekinthető egy alkalmas gömb részhalmazának.


Statisztika:

12 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Havasi 0 Márton, Janzer Olivér, Kiss 902 Melinda Flóra, Mester Márton, Nagy Róbert, Strenner Péter.
4 pontot kapott:Horváth János, Machó Bónis.
3 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai