Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4412. feladat (2012. január)

B. 4412. Amikor a hajó annyi idős lesz, mint a kapitány most, akkor a kapitány éppen 32 évvel lesz idősebb, mint amennyi a hajó volt akkor, amikor a kapitány feleannyi idős volt, mint a hajó most. Hány éves lehet a kapitány?

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a hajó mostani kora H, a kapitány kora K, a feladatban szereplő jövőbeli időpont x év múlva, a múltbeli pedig y évvel ezelőtt.

kapitány hajó
most K H
x év múlva K+x H+x
y évvel ezelőtt K-y H-x

A feladat szövege szerint

"Amikor a hajó annyi idős lesz, mint a kapitány most": H+x=K

"akkor a kapitány éppen 32 évvel lesz idősebb, mint amennyi a hajó volt": K+x=(H-y)+32

"akkor, amikor a kapitány feleannyi idős volt, mint a hajó most.": K-y=H/2

Ez egy alulhatározott egyenletrendszer a K,H,x,y számokra. A minket érdeklő K-val kifejezhetjük másik három ismeretlent:

H=\frac{6K-64}{5}, \quad x=\frac{64-K}{5}, \quad y=\frac{2K+32}{5}.

Ez azonban nem az összes információnk.

Az igeidők szerint

x=\frac{64-K}{5}>0 \quad\Leftrightarrow\quad K<64,

és

y=\frac{2K+32}{5}>0 \quad\Leftrightarrow\quad K>-16.

Továbbá, y évvel ezelőtt már volt hajó és kapitány: K-y>=0, H-y>=0.

K-y=\frac{3K-32}{5}\ge0 \quad\Leftrightarrow\quad K\ge\frac{32}3,

H-y=\frac{4K-96}{5}\ge0 \quad\Leftrightarrow\quad K\ge24.

Ezeket összevetve, 24\leK<64.

Megjegyzések. Több versenyző feltételezte, hogy az előforduló életkorok egészek, noha ezt senki sem állította. A valós életben persze szeretünk kerekíteni, kisebb számoknál kisebb egységekre (például egy gyerek kora lehet 4 és fél év, 13 hét, vagy éppen 2 perc.), de például az az információ, hogy egy bizonyos időpontban "a kapitány éppen 32 évvel idősebb, mint ..." csak kerekítés nélkül lehet érvényes.

Ha kerekítünk, akkor az olyan feltételek, hogy az egyik szereplő éppen háromszor annyi idős lesz/volt, mint a másik, lehet, hogy soha sem teljesülnek. Pl. ha a hajó 20, a kapitány pedig 15 éves, hány éve volt a hajó háromszor annyi idős, mint a kapitány?

A feladat ükapjában, az eredeti Sam Lloyd féle feladat megoldásában az életkorok szintén nem egészek.

"The combined ages of Mary and Ann are 44 years. Mary is twice as old as Ann was when Mary was half as old as Ann will be when Ann is three times as old as Mary was when Mary was three times as old as Ann. How old is Mary?”

A válasz: M=27.5, A=16.5. Érdemes a közbülső életkorokat is ellenőrizni, nem csak fél számok fordulnak elő.

A Lloyd-féle feladat megoldásához lineáris egyenletet vagy egyenetrendszert kell megoldani, de a teljes megoldáshoz azt is ellenőrizni kell, hogy a különböző igeidők megfelelőek-e.

Ebben a KöMaL feladatban szándékosan nincs elég egyenlet, de az igeidők adnak egy-egy egyenlőtlenséget.

Valószínűleg az alulhatározottság miatt gondolták sokan - hibásan -, hogy az előforduló számok csak egészek lehetnek.

Statisztika:

152 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:65 versenyző.
2 pontot kapott:45 versenyző.
1 pontot kapott:26 versenyző.
0 pontot kapott:15 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2012. januári matematika feladatai