Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4429. feladat (2012. február)

B. 4429. Két háromszög, A1B1C1 és A2B2C2 úgy helyezkedik el, hogy A1B1 és A2B2, B1C1 és B2C2, valamint A1C1 és A2C2 oldalaik párhuzamosak. Kössük össze az A1 csúcsot a B2 és C2 csúcsokkal, majd a B1 csúcsot a C2 és A2 csúcsokkal, végül a C1 csúcsot az A2 és B2 csúcsokkal. Mekkora lehet az így keletkezett összekötő szakaszok felezőpontjai által meghatározott hatszög területe, ha az eredeti háromszögek területe T1 és T2?

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.


Megoldás. A két háromszög egymáshoz hasonló, a hasonlóság aránya pedig \(\displaystyle \lambda=\sqrt{T_2/T_1}\) vagy \(\displaystyle \lambda=-\sqrt{T_2/T_1}\). Ha az egyik háromszöget a \(\displaystyle {\bf v}\) vektorral eltoljuk, akkor minden felezőpont, és így az általuk meghatározott síkidom is \(\displaystyle {\bf v}/2\)-vel mozdul el. Feltehetjük hát, hogy \(\displaystyle A_1=A_2=A\). Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy \(\displaystyle T_1\ge T_2\), vagyis \(\displaystyle 0<|\lambda|\le 1\). Ha \(\displaystyle T_1=T_2\), akkor a \(\displaystyle \lambda=1\) esetben a hatszög ugyan háromszöggé fajul el, de a lejjebb bizonyított képlet abban az esetben is érvényes lesz.

A lenti ábrán előbb a \(\displaystyle \lambda>0\), majd a \(\displaystyle \lambda<0\) esetet tüntettük fel, a szóban forgó hatszög csúcsait mindkét esetben \(\displaystyle F,G,H,I,J,K\) jelöli. A \(\displaystyle \lambda>0\) esetben vegyük fel a \(\displaystyle B_1C_1\) szakasz \(\displaystyle L\) felezőpontját is. Ekkor az \(\displaystyle I,J\) csúcsok az \(\displaystyle AHLK\) paralalelogramma \(\displaystyle HL\), illetve \(\displaystyle KL\) oldalán helyezkednek el.

A kicsit egyszerűbb \(\displaystyle \lambda<0\) esettel kezdve, az \(\displaystyle AFG\) háromszög területe \(\displaystyle T_1/4\), az \(\displaystyle AIJ\) háromszögé pedig \(\displaystyle T_2/4\). Az \(\displaystyle AB_1C_2\) és \(\displaystyle AB_2C_1\) háromszögek területe \(\displaystyle -\lambda T_1=\sqrt{T_1T_2}\), így az \(\displaystyle AGHI\) és \(\displaystyle AFKJ\) paralelelogrammák területe egyaránt \(\displaystyle \sqrt{T_1T_2}/2\). Az \(\displaystyle FGHIJK\) hatszög \(\displaystyle T\) területe e négy alakzat területének összege, vagyis

\(\displaystyle T=\frac{T_1}{4}+\frac{T_2}{4}+\sqrt{T_1T_2}.\)

A \(\displaystyle \lambda>0\) esetben a hatszög területét úgy kapjuk, hogy az \(\displaystyle AHLK\) paralelogramma \(\displaystyle T_1/2\) területéből levonjuk az \(\displaystyle AFG\) háromszög \(\displaystyle T_2/4\) területét és az \(\displaystyle IJL\) háromszög területét. Minthogy \(\displaystyle IJ\) párhuzamos a \(\displaystyle B_1C_1\) és így a \(\displaystyle HK\) szakaszokkal is, valamint \(\displaystyle IL:HL=C_2C_1:AC_1=1-\lambda\), az utóbbi háromszög területe a \(\displaystyle HLK\) háromszög területének \(\displaystyle (1-\lambda)^2\)-szerese. Ezért ebben az esetben

\(\displaystyle T=\frac{T_1}{2}-\frac{T_2}{4}-(1-\lambda)^2\cdot\frac{T_1}{4}= \frac{T_1}{2}-\frac{T_2}{4}-\frac{T_1}{4}+2\lambda\cdot\frac{T_1}{4} -\lambda^2\cdot\frac{T_1}{4}=\)

\(\displaystyle =\frac{T_1}{2}-\frac{T_2}{4}-\frac{T_1}{4}+\frac{\sqrt{T_1T_2}}{2}- \frac{T_2}{4}=\frac{T_1}{4}-\frac{T_2}{2}+\frac{\sqrt{T_1T_2}}{2}.\)


Statisztika:

24 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Herczeg József, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás.
3 pontot kapott:Barna István, Havasi 0 Márton, Katona Dániel, Kovács-Deák Máté, Medek Ákos, Mócsy Miklós, Németh 241 Ilona, Stein Ármin, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Thamó Emese, Tulassay Zsolt, Zahemszky Péter.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2012. februári matematika feladatai