Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4435. feladat (2012. március)

B. 4435. A hegyesszögű ABC háromszög A csúcsból induló magasságának talppontja T, BC oldalának felezőpontja F. Az AB és AC oldalakra kifelé írt négyzetek középpontja pedig K, illetve L. Igazoljuk, hogy KTFL húrnégyszög.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. április 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Kicsit pontosabban azt igazoljuk, hogy a \(\displaystyle K\), \(\displaystyle T\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle L\) pontok egy körön vannak. Ha \(\displaystyle AB=AC\), akkor \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle T\) egybeesik, az állítás pedig nyilvánvaló. Szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy \(\displaystyle AB<AC\), azzal a megjegyzéssel, hogy az \(\displaystyle AC>AB\) esetben a \(\displaystyle KFTL\) négyszög lesz húrnégyszög.

Mivel az \(\displaystyle AKB\) és az \(\displaystyle ATB\) szög is derékszög, az \(\displaystyle AKBT\) négyszög húrnégyszög, és így \(\displaystyle ATK\angle=ABK\angle=45^\circ\). Hasonlóképpen kapjuk, hogy \(\displaystyle ATL\angle=ACL\angle=45^\circ\), vagyis \(\displaystyle KTL\angle=ATK\angle+ATL\angle=90^\circ\). Már csak azt kell megmutatni, hogy a \(\displaystyle KFL\) szög is derékszög.

Az \(\displaystyle AB\), illetve \(\displaystyle AC\) oldal felezőpontját jelölje rendre \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\). Az \(\displaystyle EF\) szakasz az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\)-vel párhuzamos középvonala, hossza megegyezik a \(\displaystyle DK\) szakaszéval, amely viszont \(\displaystyle AB\)-re merőleges. Hasonlóképpen \(\displaystyle DF\) és \(\displaystyle EL\) is egymásra merőleges egyenlő hosszúságú szakaszok. Ezenfelül

\(\displaystyle KDF\angle=KDB\angle+BDF\angle=90^\circ+BAC\angle=CEL\angle+FEC\angle=FEL\angle.\)

Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle KDF\) és \(\displaystyle FEL\) olyan egybevágó háromszögek, melyekben az egymásnak megfelelő oldalak egymásra merőlegesek. Következésképpen az \(\displaystyle FL\) szakasz is merőleges a \(\displaystyle KF\) szakaszra.


Statisztika:

70 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:62 versenyző.
3 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2012. márciusi matematika feladatai