Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4522. feladat (2013. március)

B. 4522. Határozzuk meg az összes olyan n egész számot, amelyre

|2n3-6n2+4n+3|

prímszám.

(3 pont)

A beküldési határidő 2013. április 10-én LEJÁRT.


Megoldási ötlet: Vizsgáljuk a 3-as maradékot.

Megoldás. Vegyük észre, hogy 2n3-6n2+4n+3=2n(n-1)(n-2)+3 mindig osztható 3-mal, mert n-2, n-1 és n három szomszédos egész szám. Ezért |2n3-6n2+4n+3| csak úgy lehet prímszám, ha értéke pontosan 3.

Ha n=0, n=1 vagy n=2, akkor 2n(n-1)(n-2)+3=3. Ezek tehát megoldások.

Ha n\ge3, akkor 2n(n-1)(n-2)+3>3, ha pedig n\le-1, akkor n(n-1)(n-2)=-|n|.|n-1|.|n-2|<-6, így 2n(n-1)(n-2)+3\le2.(-6)+3<-3. Az ilyen n értékekre tehát |2n3-6n2+4n+3|>3, ezek nem megoldások.

Összefoglalva, |2n3-6n2+4n+3| akkor prímszám, ha n=0, n=1 vagy n=2.


Statisztika:

152 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:111 versenyző.
2 pontot kapott:32 versenyző.
1 pontot kapott:8 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2013. márciusi matematika feladatai