A B. 4573. feladat (2013. november)

B. 4573. Mutassuk meg, hogy egy szabályos 27-szög bármely hét csúcsa közül kiválasztható négy, amelyek trapézt határoznak meg.

(Németországi versenyfeladat, 2012)

(6 pont)

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Húzzuk meg a hét kiválasztott csúcsot összekötő, összesen szakaszt. A szabályos 27-szög csúcsai között csak 13-féle távolság fordulhat elő, ezért a szakaszok között biztosan vannak egyenlő hosszúságúak.

Ha a hét pont között van négy különböző, A, B. C és D, amire AB=CD, akkor ezek mindenképpen trapézt határoznak meg (1. és 2. ábra). Két szakasz ezért csak úgy lehet egyenlő, ha az egyik végpontjuk közös.

Mivel 21 szakaszunk van, és legfeljebb csak 13-féle hosszúság, legalább 8 különböző olyan szakaszpár található, amely egyforma hosszúságú szakaszokból áll. A 7 csúcs között ezért van olyan A csúcs, ami legalább két szakaszpár esetén a közös végpont, azaz vannak olyan B,C,D,E csúcsok a többi hat között, amikre AB=AC és AC=AD. Ekkor viszont B,C,D,E trapézt határoz meg (3. ábra).

Statisztika:

61 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Ágoston Péter, Andó Angelika, Baran Zsuzsanna, Cseh Kristóf, Csernák Tamás, Fonyó Viktória, Gyulai-Nagy Szuzina, Lajkó Kálmán, Lajos Hanka, Leipold Péter, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Öreg Botond, Sándor Krisztián, Szabó 789 Barnabás, Szegedi Áron, Talyigás Gergely, Williams Kada	(18 versenyző).
5 pontot kapott:	Babik Bálint, Badacsonyi István András, Csépai András, Dinev Georgi, Geng Máté, Kalló Kristóf, Khayouti Sára, Kocsis Júlia, Kovács 972 Márton, Nagy Simon József, Temesi András, Várkonyi Dorka, Viharos Loránd Ottó	(13 versenyző).
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.
nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai