A B. 4612. feladat (2014. március)

B. 4612. Egy 9 tagú társaságból mindenki \(\displaystyle k\) társának küld újévi üdvözlőlapot. Határozzuk meg \(\displaystyle k\) legkisebb értékét úgy, hogy biztosan legyen olyan pár, akik kölcsönösen üdvözlik egymást.

(3 pont)

A beküldési határidő 2014. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha \(\displaystyle k=4\), akkor ültessük le képzeletben a kilenc embert egy kerek asztal köré. Ha mindenki a tőle jobbra lévő, soron következő négy embernek küld üdvözlőlapot, akkor mindenki a tőle balra ülő négy embertől fog kapni, és ennek a két halmaznak nincs közös eleme.

Ha \(\displaystyle k=5\), akkor \(\displaystyle 9\cdot5=45\) üdvözlőlapot küldenek el, és ezért biztosan van olyan ember, aki legalább 5 embertől kap lapot. Mivel 5 embernek küld is, és csak 8 ember van rajta kívül, e között a 8 között van olyan, akinek küld is és kap is tőle lapot, vagyis ők ketten kölcsönösen üdvözlik egymást.

Statisztika:

190 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	111 versenyző.
2 pontot kapott:	67 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2014. márciusi matematika feladatai