 |
A B. 4650. feladat (2014. szeptember) |
B. 4650. Létezik-e olyan \(\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\) alakú függvény, melyre alkalmas páronként különböző \(\displaystyle x_1,\ldots,x_5\) valós számokkal
\(\displaystyle f(x_1)=x_2,\quad f(x_2)=x_3,\quad f(x_3)=x_4,\quad f(x_4)=x_5,\quad f(x_5)=x_1 \)
teljesül?
Javasolta: Károlyi Gyula (Budapest)
(6 pont)
A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ilyen függvényt konstruálhatunk például a tangensfüggvény addíciós képletéből: \(\displaystyle \tg(\alpha+\beta) = \frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}\).
Legyen
\(\displaystyle f(x) = \frac{x+\tg36^\circ}{1-\tg36^\circ\cdot x}, \)
azaz
\(\displaystyle a=d=1, \quad b=\tg36^\circ, \quad c=-\tg36^\circ. \)
Erre a függvényre az addíciós képlet miatt
| \(\displaystyle f(\tg\alpha) = \tg(\alpha+36^\circ) \) | (*) |
teljesül, feltéve, hogy mindkét oldal értelmes.
Legyen
\(\displaystyle x_1=\tg0^\circ=\tg180^\circ, ~ x_2=\tg36^\circ, ~ x_3=\tg72^\circ, ~ x_4=\tg108^\circ, ~ x_5=\tg144^\circ. \)
Ezek a számok különbözőek, mert a \(\displaystyle 0^\circ, \ldots, 144^\circ\) szögek a tangensfüggvény egy periódusán belül helyezkednek el. (Azt is könnyen láthatjuk, hogy \(\displaystyle x_4<x_5<x_1=0<x_2<x_3\).)
A (*) azonosság miatt
\(\displaystyle f(x_1)=x_2,\quad f(x_2)=x_3,\quad f(x_3)=x_4,\quad f(x_4)=x_5,\quad f(x_5)=x_1. \)
A válasz a feladat kérdésére tehát IGEN.
Statisztika:
24 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Andó Angelika, Bereczki Zoltán, Csépai András, Fekete Panna, Geng Máté, Kovács 972 Márton, Nagy-György Pál, Porupsánszki István, Schefler Barna, Schwarcz Tamás, Szőke Tamás, Williams Kada. 0 pontot kapott: 12 versenyző.
A KöMaL 2014. szeptemberi matematika feladatai