A B. 4739. feladat (2015. október)

B. 4739. Tekintsük azokat az \(\displaystyle x\) valós számokat, amelyekre \(\displaystyle \tg x + \ctg x\) pozitív egész szám. Határozzuk meg közülük azokat, amelyekre \(\displaystyle \tg^3x + \ctg^3 x\) prímszám.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(4 pont)

A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Legyen \(\displaystyle n=\tg x +\ctg x\). A feladat feltételei szerint \(\displaystyle n\) pozitív, továbbá \(\displaystyle n\) egy számnak és a reciprokának az összege, így \(\displaystyle n\geq 2\), ahol egyenlőség pontosan \(\displaystyle \tg x=\ctg x=1\) esetén áll fenn. Tudjuk, hogy

\(\displaystyle \tg^3 x +\ctg^3 x=(\tg x + \ctg x)(\tg^2 x -\tg x \ctg x + \ctg^2 x)=n(n^2-3) \)

prímszám. Mivel \(\displaystyle n\geq 2\) pozitív egész szám, ezért ez pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle n\) prímszám és \(\displaystyle n^2-3=1\). Vagyis az egyetlen lehetőség \(\displaystyle n=2\), azaz \(\displaystyle \tg x=\ctg x =1\). Ez pontosan az \(\displaystyle x=\frac{\pi}{4}+k\pi\) alakban (ahol \(\displaystyle k\) tetszőleges egész szám) felírható számokra teljesül.

Statisztika:

166 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	105 versenyző.
3 pontot kapott:	39 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2015. októberi matematika feladatai