A B. 4755. feladat (2015. december)

B. 4755. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben a \(\displaystyle CB\), illetve a \(\displaystyle CA\) oldalhoz írt \(\displaystyle k_A\), illetve \(\displaystyle k_B\) körök a megfelelő oldalakat a \(\displaystyle D\), illetve az \(\displaystyle E\) pontban érintik. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle DE\) egyenes a \(\displaystyle k_A\) és \(\displaystyle k_B\) körökből egyenlő hosszúságú húrokat metsz ki.

Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Gimn.)

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle D_1\) a \(\displaystyle k_A\) kör érintési pontja az \(\displaystyle AC\) egyenesen, legyen \(\displaystyle E_1\) a \(\displaystyle k_B\) kör érintési pontja a \(\displaystyle BC\) egyenesen, és messe a \(\displaystyle DE\) egyenes másodszor a \(\displaystyle k_A\) kört a \(\displaystyle P\) pontban, \(\displaystyle k_B\)-t pedig \(\displaystyle Q\)-ban.

A \(\displaystyle DE_1\) és \(\displaystyle D_1E\) szakaszok a két kör közös belső érintőinek a két kör közé eső szakaszai. A két szakasz egymás tükörképe a két kör centrálisára nézve, ezért egyenlő hosszúságúak: \(\displaystyle DE_1=D_1E\). A \(\displaystyle D\) pontnak a \(\displaystyle k_B\) körre vonatkozó hatványa \(\displaystyle DE_1^2 = DE\cdot DQ\). Hasonlóan, az \(\displaystyle E\) pontnak a \(\displaystyle k_A\) körre vonatkozó hatványa \(\displaystyle ED_1^2 = ED\cdot EP\). Mindezeket felhasználva:

\(\displaystyle DE\cdot (DE+EQ) = DE\cdot DQ = DE_1^2 = ED_1^2 = ED\cdot EP = ED \cdot (ED+DP). \)

A \(\displaystyle DE\) szakasz hosszával osztva, majd \(\displaystyle DE\)-t kivonva kapjuk, hogy

\(\displaystyle EQ = DP, \)

ami éppen a bizonyítandó állítás.

Statisztika:

94 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	83 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2015. decemberi matematika feladatai