Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4952. feladat (2018. április)

B. 4952. Át lehet-e darabolni véges sok egyenes vágással egy kockát két kisebb egybevágó kockába?

Javasolta: Gyenes Zoltán (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Ha egy egyenes hasáb \(\displaystyle A\) alaplapját véges sok egyenes vágással feldaraboljuk, akkor ezen egyenesekre illeszkedő, \(\displaystyle A\)-ra merőleges síkokkal a hasáb feldarabolását kapjuk. Megmutatjuk, hogy a feladat már ilyen speciális vágásokkal is megoldható. Mindez azon múlik, hogy bármely két egyenlő területű téglalap egymásba átdarabolható. Ha ugyanis az egyik téglalap szomszédos oldalai \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), a másiké pedig \(\displaystyle a''\) és \(\displaystyle b''\), ahol \(\displaystyle a \leqslant a'' \leqslant b'' \leqslant b\), akkor az ábrán látható módon az \(\displaystyle a\,,\, b\) oldalú \(\displaystyle ABCD\) téglalapot először az \(\displaystyle A'D=a''\) oldalú, \(\displaystyle b''\) magasságú \(\displaystyle A'B'CD\) paralelogrammába, majd azt a vele megegyező területű, \(\displaystyle B''C''=B'C=a''\) oldalú \(\displaystyle A''B''C''D''\) téglalapba darabolhatjuk át.

A fentiek szerint egy \(\displaystyle 2 \times 2\times 2\)-es kockát valamelyik \(\displaystyle 2\times 2\)-es lapjára merőleges vágásokkal \(\displaystyle \root {3}\of {4}\times 2\root {3}\of {2}\times 2\)-es, majd azt egyik \(\displaystyle 2\root {3}\of {2}\times 2\)-es lapjára merőleges vágásokkal \(\displaystyle \root {3}\of {4}\times \root {3}\of {4}\times 2\root {3}\of {4}\)-es téglatestté szabhatjuk át, amit végül a \(\displaystyle 2\root {3}\of {4}\) hosszúságú éleinek közös felezősíkjával két \(\displaystyle \root {3}\of {4}\times \root {3}\of {4}\times \root {3}\of {4}\)-es kockára vághatunk.


Statisztika:

21 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Dobák Dániel, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Janzer Orsolya Lili, Nagy Nándor, Pituk Gábor.
4 pontot kapott:Kerekes Anna, Schrettner Jakab, Sebestyén Pál Botond.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:11 versenyző.

A KöMaL 2018. áprilisi matematika feladatai