A B. 5039. feladat (2019. szeptember)

B. 5039. Egy \(\displaystyle 2019\times 2019\)-es táblázat mindegyik mezőjébe vagy \(\displaystyle (+1)\)-et, vagy \(\displaystyle (-1)\)-et írunk, majd kiszámoljuk az összes sor- és oszlopösszeget. Legfeljebb hány különböző számot kaphatunk?

Javasolta: Blahota István (Nyíregyháza)

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Minden sor-, és oszlopösszeg \(\displaystyle 2019\) darab páratlan szám összege, így mindenképpen páratlan. A mezőkbe írt számok abszolút értéke \(\displaystyle 1\), így az összegek abszolút értéke legfeljebb \(\displaystyle 2019\) lehet. Ez tehát azt jelenti, hogy csak \(\displaystyle -2019\) és \(\displaystyle 2019\) közötti páratlan számokat kaphatunk összegként, ezek száma \(\displaystyle 2020\).

Megmutatjuk, hogy van olyan kitöltés, aminél mind a \(\displaystyle 2020\) lehetséges értéket megkapjuk.

Ha a főátlón (bal felső és jobb alsó mezőket tartalmazó átlón), és felette minden mezőbe \(\displaystyle (+1)\)-et írunk, a főátló alatt pedig mindenhova \(\displaystyle (-1)\)-et, akkor a sorösszegek rendre \(\displaystyle 2019,~2017,\dots,-2017\), az oszlopösszegek pedig rendre \(\displaystyle -2017,-2015,\dots,~2019\). Ezzel minden \(\displaystyle -2019\) és \(\displaystyle 2019\) közötti páratlan értéket megkapunk a \(\displaystyle -2019\) kivételével.

Ha most a bal felső mezőbe írt értéket átváltoztatjuk \(\displaystyle (-1)\)-re, akkor csak az az első sorösszeg és az első oszlopösszeg változik meg, előbbi \(\displaystyle 2019\)-ről \(\displaystyle 2017\)-re, utóbbi pedig \(\displaystyle -2017\)-ről \(\displaystyle -2019\)-re. Mivel a \(\displaystyle 2019\) és a \(\displaystyle -2017\) szerepelt máshol is, az így kapott kitöltésnél már mind a \(\displaystyle 2020\)-féle értéket megkapjuk.

Tehát legfeljebb \(\displaystyle 2020\)-féle különböző számot kaphatunk (és ezek \(\displaystyle -2019,-2017,\dots,~2019\)), és van is olyan kitöltés, amikor ennyit kapunk.

Statisztika:

206 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	143 versenyző.
2 pontot kapott:	22 versenyző.
1 pontot kapott:	30 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2019. szeptemberi matematika feladatai