 |
A B. 5085. feladat (2020. február) |
B. 5085. Mutassuk meg, hogy a szabályos hétszöget fel lehet darabolni véges sok, egymáshoz hasonló szimmetrikus trapézra.
Javasolta: Laczkovich Miklós (Budapest)
(6 pont)
A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A hétszöget olyan trapézokra fogjuk bontani, amelyeknek szögei \(\displaystyle 2\cdot\frac{180^\circ}7\) és \(\displaystyle 5\cdot\frac{180^\circ}7\) nagyságúak. A trapézok szárának és alapjainak aránya \(\displaystyle 1:a:b\) lesz, később meghatározandó \(\displaystyle a,b>0\) számokkal, ahol persze \(\displaystyle b-a=2\cos\frac{360^\circ}7\approx 1,2469796\) (baloldali ábra).
Egy-egy \(\displaystyle b\), \(\displaystyle b(b-1)\), illetve \(\displaystyle 1+a(b-1)\) szárú trapézból rakjuk ki a jobb oldali ábrán látható \(\displaystyle OACDFG\) hatszöget. Mint látható, az \(\displaystyle ABHO\) trapéz hosszabbik alapja valóban \(\displaystyle b\cdot AO=b^2=HG+GO\), a \(\displaystyle BCDE\) trapéz hosszabbik alapja pedig \(\displaystyle b\cdot BC=b+ab(b-1)=BH+HE\).
Válasszuk az \(\displaystyle a,b\) számokat úgy, hogy az is teljesüljön, hogy \(\displaystyle AC=GF\), azaz
\(\displaystyle ab+\big(1+a(b-1)\big) = b^2(b-1). \)
Behelyettesítve \(\displaystyle a=(b-2\cos\frac{360^\circ}7)\)-t és rendezve,
\(\displaystyle b^3-3b^2+\left(4\cos\frac{360^\circ}7+1\right)\cdot b-\left(2\cos\frac{360^\circ}7+1\right) =0, \)
vagy az együtthatók közelítő értékeivel
\(\displaystyle b^3-3b^2+3,4939592\cdot b-2,2469796 \approx 0. \)
Ennek a harmadfokú egyenletnek a legnagyobb valós gyöke \(\displaystyle b\approx1.731628\), a hozzá tartozó \(\displaystyle a\) érték \(\displaystyle a\approx0.484649\).
Ha ezekkel az \(\displaystyle a,b\) értékekkel építjük fel az \(\displaystyle OACDFG\) hatszöget, és a hatszöget az \(\displaystyle O\) pont körül a \(\displaystyle \frac{360^\circ}{7}\) többszöröseivel elforgatjuk, a hét elforgatott hatszög kiad egy szabályos hétszöget.
Statisztika:
4 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2020. februári matematika feladatai