Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5136. feladat (2020. december)

B. 5136. A kishitűek és nagyotmondók szigetén minden ember vagy kishitű vagy nagyotmondó. Egyszer egy külföldi tévedt a szigetre, és egy társaság meghívta vacsorázni. A vacsora végén megkérdezte a társaság mindegyik tagjától, hogy hány nagyotmondó van a társaságban. A kishitűek az igazságnál kisebb, a nagyotmondók pedig nagyobb számot válaszoltak. Igaz-e, hogy a kapott válaszok ismeretében egyértelműen meghatározható a nagyotmondók száma?

Dürer Verseny egy feladata alapján

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Megmutatjuk, hogy igen, a válaszok ismeretében egyértelműen meghatározható a nagyotmondók száma.

Ehhez azt kell igazolnunk, hogy nem létezhet válaszok olyan sorozata, mely \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle \ell\) nagyotmondó esetén is előfordulhat valamely \(\displaystyle k<\ell\) mellett. Ha a nagyotmondók száma \(\displaystyle \ell\), akkor ők a feltétel alapján \(\displaystyle \ell\)-nél nagyobb számot mondanak, vagyis

\(\displaystyle \text{a mondott számok között lesz legalább \(\displaystyle \ell\) darab \(\displaystyle \ell\)-nél nagyobb.} \)\(\displaystyle {(*)}\)

Ha viszont a nagyotmondók száma \(\displaystyle k\), akkor \(\displaystyle k\) kivétellel mindenki (nevezetesen a kishitűek) \(\displaystyle k\)-nál kisebb számot mondanak. Így \(\displaystyle k\)-nál nagyobb számot csak \(\displaystyle k\) ember mondhat, vagyis

\(\displaystyle \text{a válaszok között \(\displaystyle \ell\)-nél nagyobb értékből is csak legfeljebb \(\displaystyle k\) lehet.} \)\(\displaystyle {(**)}\)

Mivel \(\displaystyle k<\ell\), ezért olyan válaszsorozat, amelyre \(\displaystyle (*)\) és \(\displaystyle (**)\) is teljesül, nem létezik. Ez azt jelenti, hogy a válaszokból mindig meghatározható a nagyotmondók száma.

(Nevezetesen, a nagyotmondók száma az a \(\displaystyle k\) érték, amelyre igaz, hogy \(\displaystyle k\)-nál nagyobb válaszból pontosan \(\displaystyle k\) darab volt.)


Statisztika:

A B. 5136. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. decemberi matematika feladatai