A B. 5254. feladat (2022. szeptember)

B. 5254. Bizonyítsuk be, hogy bármely két, 3-mal nem osztható páratlan szám négyzetének különbsége osztható 24-gyel.

(Mennyiségtani és Természettudományi Didaktikai Lapok, 1943)

(3 pont)

A beküldési határidő 2022. október 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Egy 3-mal nem osztható páratlan szám 6-os maradéka 1 vagy 5, így biztosan felírható \(\displaystyle 6k\pm1\) alakban, ahol \(\displaystyle k\) egész szám. Mivel

\(\displaystyle (6k\pm1)^2=36k^2\pm12k+1=24k^2+12k(k\pm 1)+1\)

és \(\displaystyle k(k\pm 1)\) biztosan páros, így \(\displaystyle 12k(k\pm 1)\) (és \(\displaystyle 24k^2\) is) osztható 24-gyel, vagyis a \(\displaystyle (6k\pm1)^2\) szám 24-es maradéka biztosan 1. Ebből már következik, hogy két, 3-mal nem osztható páratlan szám négyzetének különbsége valóban osztható 24-gyel.

2. megoldás. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) két, 3-mal nem osztható páratlan szám. Ekkor egyrészt \(\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) biztosan osztható 3-mal, hiszen \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) hármas maradéka 1 vagy 2 lehet; ha a maradékuk egyezik, akkor \(\displaystyle 3\mid a-b\), ha különbözik, akkor pedig \(\displaystyle 3\mid a+b\). Másrészt, az \(\displaystyle a+b\) és \(\displaystyle a-b\) számok párosak, ráadásul valamelyik 4-gyel is osztható, hiszen különbségük \(\displaystyle 2b\), ami 4-gyel osztva 2 maradékot ad (hiszen \(\displaystyle b\) páratlan). Tehát \(\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) két páros szám szorzata, melyek közül az egyik 4-gyel is osztható, így a szorzat 8-cal biztosan osztható. Tehát két, 3-mal nem osztható páratlan szám négyzetének különbsége 3-mal és 8-cal is osztható, így valóban osztható 24-gyel.

Statisztika:

256 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	217 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	11 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2022. szeptemberi matematika feladatai