A B. 5302. feladat (2023. március)

B. 5302. Egy \(\displaystyle 8 \times 8\)-as táblázat minden mezőjébe \(\displaystyle +1\)-et vagy \(\displaystyle -1\)-et írtunk úgy, hogy az összes szám összege 0. Minden sorban és oszlopban kiszámoljuk a számok összegét. Legfeljebb hány pozitív szám lehet ezen 16 összeg között?

Gáspár Merse Előd (Budapest) ötlete nyomán

(3 pont)

A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Ahhoz, hogy egy sor összege pozitív legyen, legalább 5 darab \(\displaystyle (+1)\)-nek kell lennie a sorban. Mivel összesen 32 darab \(\displaystyle +1\) van a táblázatban, így legfeljebb 6 sor összege lehet pozitív (mivel \(\displaystyle 7 \cdot 5\) már több, mint 32). Ugyanígy belátható, hogy legfeljebb 6 oszlop összege lehet pozitív.

Az viszont megvalósítható – például az alábbi ábrán látható konstrukcióval – hogy 6 sor és 6 oszlop összege is pozitív legyen.

Tehát a feladatban vizsgált 16 összeg közül legfeljebb 12 lehet pozitív.

Statisztika:

129 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	92 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	21 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2023. márciusi matematika feladatai