 |
A B. 5414. feladat (2024. november) |
B. 5414. Adott az \(\displaystyle ABCD\) téglalap és a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) pontok úgy, hogy \(\displaystyle ABP\) körülírt körének középpontja \(\displaystyle Q\), míg \(\displaystyle BCQ\) körülírt körének középpontja \(\displaystyle P\). Számítsuk ki a \(\displaystyle PDQ\) szöget.
Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)
(3 pont)
A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. (javított változat) A feltételek szerint \(\displaystyle BQ = PQ\) ill. \(\displaystyle PQ = PB\); tehát \(\displaystyle BPQ\) egy szabályos háromszög. Az is könnyen látható, hogy a \(\displaystyle P\) pontnak \(\displaystyle BC\) (és \(\displaystyle DA\)), míg a \(\displaystyle Q\) pontnak \(\displaystyle AB\) (és \(\displaystyle CD\)) felezőmerőlegesén kell lennie.
A \(\displaystyle BCQ\) köré írt körben \(\displaystyle BPQ \sphericalangle = 60^\circ\) középponti szög, tehát a \(\displaystyle QCB \sphericalangle\) kerületi szögnek kétféle értéke lehet
- \(\displaystyle 30^\circ\), ha \(\displaystyle C\) a \(\displaystyle QB\) húr egyenesének \(\displaystyle P\)-vel azonos oldalán van (1. ábra);
- \(\displaystyle 150^\circ\), ha \(\displaystyle C\) a \(\displaystyle QB\) húr egyenesének \(\displaystyle P\)-vel ellentétes oldalán van (2. ábra).
Tehát (irányított szögekkel számolva)
\(\displaystyle DCQ \sphericalangle = DCB \sphericalangle - QCB \sphericalangle = \pm 60\circ \)
Így \(\displaystyle CDQ\) háromszög is szabályos kell legyen, hiszen van egy 60 fokos szöge és egyenlő szárú (\(\displaystyle DQ = CQ\), mivel \(\displaystyle Q\) rajta van \(\displaystyle DC\) felezőmerőlegesén). Az feladat logikai szimmetriája miatt ugyanígy megkaphatjuk, hogy az \(\displaystyle ADP\) háromszög is szabályos.
A három szabályos háromszög (\(\displaystyle BPQ \triangle\), \(\displaystyle ADP\triangle\), \(\displaystyle CDQ\triangle\)) és a téglalapban teljesülő \(\displaystyle AB=CD\) és \(\displaystyle BC = DA\) egyenlőségek miatt:
\(\displaystyle BP = QP = QB \\ PA = PD = BC \\ AB = DQ = CQ \)
Ebből következően
\(\displaystyle ABP \triangle \cong DQP \triangle \cong CQB \triangle, \)
és így \(\displaystyle PDQ \sphericalangle = BCQ \sphericalangle\), amelyről már megállapítottuk, hogy \(\displaystyle 30^\circ\) vagy \(\displaystyle 150^\circ\) lehet. Mindkét eset lehetséges is, mint ábráink mutatják.
(Az ábrákon a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontokat úgy vettük fel, hogy \(\displaystyle DAP\) és \(\displaystyle CDQ\) azonos körüljárású szabályos háromszögek, ilyenkor könnyen ellenőrizhetően teljesül a feladat összes feltétele.)
Statisztika:
96 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: Blaskovics Ádám, Bogdán Balázs Ákos, Bui Thuy-Trang Nikolett, Guthy Gábor, Hajba Milán, Kővágó Edit Gréta, Li Mingdao, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sha Jingyuan, Török Eszter Júlia, Virág Lénárd Dániel. 2 pontot kapott: 69 versenyző. 1 pontot kapott: 12 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai