 |
A B. 5494. feladat (2025. december) |
B. 5494. Anna és Béla a következő játékot játsszák egy \(\displaystyle 2\times 2026\)-os táblán. Felváltva helyeznek le dominókat a táblára, egészen addig, amíg már nem lehet új dominót elhelyezni. Ha ekkor a tábla teljesen le van fedve, akkor Anna nyer, különben Béla. Kinek van nyerő stratégiája, ha Anna kezd? (Egy dominó két élszomszédos mezőt fed le. A dominók nem lóghatnak le a tábláról és nem fedhetik egymást.)
Javasolta: Lovas Márton (Budakalász)
(3 pont)
A beküldési határidő 2026. január 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Annának van nyerő stratégiája.
Jelölje \(\displaystyle e\) a táblázat ,,vízszintes'' szimmetriatengelyét. Anna győzelméhez elegendő, ha a játék minden lépésében eléri, hogy a dominókkal addig lefedett rész az \(\displaystyle e\)-re szimmetrikus alakzat legyen. Ez a szimmetria pontosan akkor valósul meg, ha minden \(\displaystyle i\le 2026\)-ra teljesül, hogy a második sor \(\displaystyle i\)-edik eleme pontosan akkor van lefedve, amikor az első sor \(\displaystyle i\)-edik eleme. Kezdő lépéseként ezért Anna az első és a második sor ugyanannyiadik elemét fedi le dominóval (az ábrán \(\displaystyle f\ f\)). Ha ezután Béla is hasonlóan lép, akkor a kívánt szimmetria megmarad, és nem romlik el, ha Anna is ilyet lép másodszorra. Ha pedig Béla valamikor két, egymás melletti mezőre tesz dominót – azaz az első vagy a második sor \(\displaystyle k\)-adik és \(\displaystyle k+1\)-edik elemét fedi le (az ábrán \(\displaystyle o\ o\) vagy \(\displaystyle s\ s\)), akkor Anna ennek az \(\displaystyle e\) egyenesre való tükörképére helyez dominót.
Amikor már egyik játékos sem tud lépni, akkor a táblázat mindegyik helye le van fedve: ellenkező esetben, ha valamelyik sor \(\displaystyle j\)-edik eleme nem lenne lefedve, akkor a szimmetria miatt a másik sor \(\displaystyle j\)-edik eleme sem lenne lefedve, úgy viszont ez a két hely lefedhető volna egy dominóval.
Statisztika:
A B. 5494. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2025. decemberi matematika feladatai