A B. 5503. feladat (2026. január)

B. 5503. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle BC\) oldalára szerkesztett szabályos háromszögek harmadik csúcsai legyenek \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle AP^2+AQ^2=AB^2+BC^2+CA^2\).

Javasolta: Kiss Géza (Csömör)

(3 pont)

A beküldési határidő 2026. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle A\) pont tükörképe \(\displaystyle BC\) szakasz felezőpontjára \(\displaystyle A'\). Ekkor az \(\displaystyle AA'\), \(\displaystyle BC\) és a \(\displaystyle PQ\) szakaszok felezőpontjai egybeesnek, ezért \(\displaystyle APA'Q\) és \(\displaystyle ABA'C\) paralelogrammák, tehát a paralelogramma-tétel szerint:

\(\displaystyle 2AP^2+2AQ^2=A'A^2+PQ^2\)

és

\(\displaystyle 2AB^2+2AC^2=A'A^2+BC^2.\)

Mivel a \(\displaystyle PBC\) és \(\displaystyle QBC\) háromszögek szabályosak, ezért \(\displaystyle PQ\) hossza pont egy szabályos (\(\displaystyle BC\) oldalú) háromszög magasságának \(\displaystyle 2\)-szerese, tehát \(\displaystyle PQ=\sqrt{3}BC\). A fenti második egyenletbe \(\displaystyle PQ\) helyére \(\displaystyle \sqrt{3}BC\)-t helyettesítve, majd ezt az első egyenletből kivonva kapjuk:

\(\displaystyle 2(AP^2+AQ^2-AB^2-AC^2)=2(BC^2) \Longleftrightarrow AP^2+AQ^2=AB^2+BC^2+CA^2.\)

Statisztika:

A B. 5503. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. januári matematika feladatai