A B. 5505. feladat (2026. január)

B. 5505. Legyen az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlóinak metszéspontja \(\displaystyle P\), az \(\displaystyle APB\) háromszög körülírt körének középpontja \(\displaystyle K\), továbbá a \(\displaystyle CPD\) háromszög magasságpontja \(\displaystyle M\). Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle K\), \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle P\) pontok egy egyenesen vannak.

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(4 pont)

A beküldési határidő 2026. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A \(\displaystyle KP\) egyenes és a \(\displaystyle CD\) oldal metszéspontja legyen a \(\displaystyle T\) pont. Azt fogjuk megmutatni, hogy ez a pont a \(\displaystyle CPD\) háromszög \(\displaystyle P\)-ből induló magasságvonalának talppontja. Mivel ezen a magasságvonalon a \(\displaystyle CPD\) magasságpontja is rajta van, ezzel már teljesül a feladat állítása: \(\displaystyle K, ~P\) és \(\displaystyle M\) egy egyenesen vannak.

Az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög, ezért \(\displaystyle ACD\sphericalangle\) és \(\displaystyle ABD\sphericalangle\) az \(\displaystyle AD\) húrhoz tatozó kerületi szögek, tehát egyenlők. Legyen ez a szög \(\displaystyle \varphi\).

Legyen az \(\displaystyle F\) pont a \(\displaystyle PA\) szakasz felezőpontja. Így \(\displaystyle KF\) az \(\displaystyle AP\) szakaszfelező merőlegese, \(\displaystyle KFP\sphericalangle\) derékszög.

Megmutatjuk, hogy a \(\displaystyle KFP\) háromszög hasonló a \(\displaystyle CTP\) háromszöghöz. A \(\displaystyle P\)-nél fekvő szögeik csúcsszögek, ezért ugyanakkorák, továbbá \(\displaystyle PKF\sphericalangle\) az \(\displaystyle APB\) háromszög körülírt körében a \(\displaystyle PKA\) középponti szög fele, így a kerületi és középponti szögek tétele alapján szintén \(\displaystyle \varphi\)-vel egyenlő. A két háromszögnek két-két szöge egyforma, tehát hasonlók. Ennek megfelelően a \(\displaystyle CTP\) háromszögben \(\displaystyle T\)-nél valóban derékszög van, a \(\displaystyle KP\) egyenes tartalmazza a \(\displaystyle CPD\) háromszög \(\displaystyle M\) magasságpontját.

Statisztika:

60 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Albert Luca Liliána, Ali Richárd, Antal Tamás Botond, Balla Ignác , Benedek Olivér , Bodor Ádám, Bolla Donát Andor, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Hajba Milán, Hideg János, Holló Martin, Illés Dóra, Kerekes András, Kókai Ákos, Kun Zsófia, Kurucz Lilien Jázmin, Li Mingdao, Lovas Márk, Maróti Bálint, Maróti Olga, Mikó Hédi Irma, Molnár-Sáska Tamás, Mondovics Gábor , Nguyen Ngoc Mai, Papp Mátyás, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Rotter Szabolcs, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Schmidt Botond, Tóth Luca, Varga 511 Vivien, Várhegyi Hanna, Vincze Marcell, Wiener Marcell, Zhu Yi.
3 pontot kapott:	Baranyi Ernő, Beinschroth Máté, Fodor Barna, Hajszter Dóra, Kővágó Edit Gréta, Miszori Márton, Molnár Lili, Nagypál Katóca, Sógor-Jász Soma, Vályi Nagy Ádám András, Weng Chenxin.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2026. januári matematika feladatai