A B. 5505. feladat (2026. január)

B. 5505. Legyen az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlóinak metszéspontja \(\displaystyle P\), az \(\displaystyle APB\) háromszög körülírt körének középpontja \(\displaystyle K\), továbbá a \(\displaystyle CPD\) háromszög magasságpontja \(\displaystyle M\). Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle K\), \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle P\) pontok egy egyenesen vannak.

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(4 pont)

A beküldési határidő 2026. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A \(\displaystyle KP\) egyenes és a \(\displaystyle CD\) oldal metszéspontja legyen a \(\displaystyle T\) pont. Azt fogjuk megmutatni, hogy ez a pont a \(\displaystyle CPD\) háromszög \(\displaystyle P\)-ből induló magasságvonalának talppontja. Mivel ezen a magasságvonalon a \(\displaystyle CPD\) magasságpontja is rajta van, ezzel már teljesül a feladat állítása: \(\displaystyle K, ~P\) és \(\displaystyle M\) egy egyenesen vannak.

Az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög, ezért \(\displaystyle ACD\sphericalangle\) és \(\displaystyle ABD\sphericalangle\) az \(\displaystyle AD\) húrhoz tatozó kerületi szögek, tehát egyenlők. Legyen ez a szög \(\displaystyle \varphi\).

Legyen az \(\displaystyle F\) pont a \(\displaystyle PA\) szakasz felezőpontja. Így \(\displaystyle KF\) az \(\displaystyle AP\) szakaszfelező merőlegese, \(\displaystyle KFP\sphericalangle\) derékszög.

Megmutatjuk, hogy a \(\displaystyle KFP\) háromszög hasonló a \(\displaystyle CTP\) háromszöghöz. A \(\displaystyle P\)-nél fekvő szögeik csúcsszögek, ezért ugyanakkorák, továbbá \(\displaystyle PKF\sphericalangle\) az \(\displaystyle APB\) háromszög körülírt körében a \(\displaystyle PKA\) középponti szög fele, így a kerületi és középponti szögek tétele alapján szintén \(\displaystyle \varphi\)-vel egyenlő. A két háromszögnek két-két szöge egyforma, tehát hasonlók. Ennek megfelelően a \(\displaystyle CTP\) háromszögben \(\displaystyle T\)-nél valóban derékszög van, a \(\displaystyle KP\) egyenes tartalmazza a \(\displaystyle CPD\) háromszög \(\displaystyle M\) magasságpontját.

Statisztika:

A B. 5505. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. januári matematika feladatai