 |
A B. 5506. feladat (2026. január) |
B. 5506. Oldjuk meg a pozitív egész számok halmazán a következő egyenletet:
\(\displaystyle x^5-xy^2+y^2=1. \)
Javasolta: Molnár István (Békéscsaba)
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az egyenletet rendezve, majd az ismert \(\displaystyle a^n-b^n= (a-b)\left( a^{n-1} + a^{n-2}b + ... + ab^{n-2} + b^{n-1} \right)\) azonosság segítségével szorzattá alakítva: \(\displaystyle x^5-1 - y^2(x-1)=0\), és \(\displaystyle (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1-y^2)\) adódik.
Innen vagy \(\displaystyle x-1=0\), azaz \(\displaystyle x=1\) (és \(\displaystyle y\) bármilyen pozitív egész szám lehet, és ez nyilvánvalóan helyes megoldás), vagy \(\displaystyle x^4+x^3+x^2+x+1-y^2=0\).
A (második) \(\displaystyle x^4+x^3+x^2+x+1-y^2=0\) esetet vizsgálva, az egyenletet rendezve, és \(\displaystyle 4\)-gyel szorozva a következő egyenletet kapjuk:
\(\displaystyle (*) \quad 4y^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4 \: .\)
Innen két oldalról is becsléseket fogunk adni a \(\displaystyle (*)\)-gal jelölt egyenlet bal oldalára.
Egyfelől \(\displaystyle 4y^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=(2x^2+x)^2+2x^2+(x+2)^2\), és mivel a jobb oldalon álló összeg utolsó két tagja pozitív, így \(\displaystyle 4y^2>(2x^2+x)^2\),
másfelől pedig \(\displaystyle 4y^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=4x^4+4x^3+9x^2+4x+4-5x^2=(2x^2+x+2)^2-5x^2\), így az előzőhöz hasonlóan \(\displaystyle 4y^2<(2x^2+x+2)^2\).
Mivel a \(\displaystyle 4y^2\) négyzetszámot ,,beszorítottuk'' a ,,másodszomszédos'' \(\displaystyle (2x^2+x)^2\) és \(\displaystyle (2x^2+x+2)^2\) négyzetszámok közé, \(\displaystyle 4y^2= (2x^2+x+1)^2\), és innen \(\displaystyle 2y=2x^2+x+1\) adódik.
Ezt az eredményt a \(\displaystyle (*)\) összefüggésbe visszaírva, majd a zárójelet felbontva és rendezve:
\(\displaystyle (2x^2+x+1)^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4\), majd \(\displaystyle x^2-2x-3=0\) adódik.
A másodfokú egyenlet gyökei: \(\displaystyle x_1=3\) és \(\displaystyle x_2=-1\), de \(\displaystyle x_2\) nem megoldása az eredeti egyenletnek, mivel nem pozitív.
\(\displaystyle x=3\) esetén pedig \(\displaystyle 2y=22\), és így \(\displaystyle y=11\). Ez utóbbi megoldásunk helyességét ellenőrizve, valóban teljesül \(\displaystyle 3^5 - 3 \cdot 11^2 + 11^2=243 - 363 + 121=1\).
Azaz az egyenlet megoldása: \(\displaystyle x=1\) és \(\displaystyle y\) bármely pozitív egész, vagy \(\displaystyle x=3\) és \(\displaystyle y=11\).
Statisztika:
82 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 67 versenyző. 4 pontot kapott: 2 versenyző. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2026. januári matematika feladatai