 |
A B. 5507. feladat (2026. január) |
B. 5507. Az \(\displaystyle \bigl(n^2;n^2+n\bigr)\) intervallumból (\(\displaystyle n>2\) egész szám) választunk két különböző egész számot, \(\displaystyle a\)-t és \(\displaystyle b\)-t. Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan ezektől különböző egész szám az intervallumban, amely osztója az \(\displaystyle ab\) szorzatnak.
Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Tekintsünk három tetszőleges, egymástól különböző \(\displaystyle a,b,m\) egész számot, amelyekre \(\displaystyle n^2<a,b,m<n^2+n\); azt kell igazolnunk, hogy \(\displaystyle ab\) nem lehet osztható \(\displaystyle m\)-mel.
A fő ötlet az, hogy \(\displaystyle a\)-t és \(\displaystyle b\)-t kisebb számokra cseréljük. Vegyük észre, hogy
\(\displaystyle ab \equiv (a-m)(b-m) = \pm|a-m|\cdot|b-m| \pmod{m}, \)
ezért \(\displaystyle ab\) akkor és csak akkor osztható \(\displaystyle m\)-nel, ha \(\displaystyle |a-m|\cdot|b-m|\) osztható \(\displaystyle m\)-mel.
A feltevésünk szerint \(\displaystyle a\ne m\) és \(\displaystyle b\ne m\), ezért
\(\displaystyle 0 < |a-m|\cdot|b-m| < n\cdot n = n^2 < m. \)
Ebből látjuk, hogy \(\displaystyle |a-m|\cdot|b-m|\) az \(\displaystyle m\) két szomszédos többszöröse, a \(\displaystyle 0\) és az \(\displaystyle m\) közé esik, így nem lehet osztható \(\displaystyle m\)-mel.
Statisztika:
53 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ali Richárd, Bao Nguyen Gia, Baran Júlia, Benedek Olivér , Bodó Rókus Dániel, Bodor Ádám, Bolla Donát Andor, Chemlal Youva 118, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Görömbey Tamás, Hajba Milán, Hideg János, Horák Zsófia, Kámán-Gausz Péter, Kerekes András, Kiss Villő Zsófia, Li Mingdao, Lovas Márk, Miszori Gergő, Miszori Márton, Nagypál Katóca, Papp Mátyás, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Schmidt Botond, Takács András, Tóth László Pál, Varsányi Benedek, Vincze Marcell, Wiener Marcell. 4 pontot kapott: Balla Ignác , Budai Máté, Fodor Barna, Hegyi Fruzsina , Holló Martin, Kókai Ákos, Kun Zsófia, Vályi Nagy Ádám András, Várhegyi Hanna. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző.
A KöMaL 2026. januári matematika feladatai