 |
A B. 5508. feladat (2026. január) |
B. 5508. Legyen \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög.
a) Igazoljuk, hogy ha
\(\displaystyle \tg BAC\sphericalangle \cdot \tg DCA\sphericalangle=\tg CAD\sphericalangle \cdot \tg ACB\sphericalangle, \)
akkor
\(\displaystyle \tg CBD\sphericalangle \cdot\tg ADB\sphericalangle =\tg DBA\sphericalangle \cdot\tg BDC\sphericalangle. \)
b) Igazoljuk, hogy ha
\(\displaystyle \tg\dfrac{BAC\sphericalangle}{2}\cdot\tg\dfrac{DCA\sphericalangle}{2}=\tg\dfrac{CAD\sphericalangle}{2}\cdot\tg\dfrac{ACB\sphericalangle}{2}, \)
akkor
\(\displaystyle \tg\dfrac{CBD\sphericalangle}{2}\cdot\tg\dfrac{ADB\sphericalangle}{2}=\tg\dfrac{DBA\sphericalangle}{2}\cdot\tg\dfrac{BDC\sphericalangle}{2}. \)
Javasolta: Hujter Bálint (Budapest) és Kós Géza (Budapest)
(6 pont)
A beküldési határidő 2026. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. a) Megmutatjuk, hogy a feltételből következik, hogy \(\displaystyle ABCD\) átlói merőlegesek egymásra. Használjuk az ábra jelöléseit.
Ekkor \(\displaystyle \tg \alpha_1=BT_B/AT_B\), \(\displaystyle \tg \gamma_2=BT_B/CT_B\), stb. Ezeket visszaírva a feltételbe \(\displaystyle BT_B\) és \(\displaystyle DT_D\) szakaszhosszok kiesnek, s rendezés után azt nyerjük, hogy
\(\displaystyle \frac{AT_B}{CT_B} = \frac{AT_D}{CT_D}. \)
Ebből \(\displaystyle T_B=T_D\) következik, ami azt jelenti, hogy a két átló merőleges.
Innen lényegében ugyanezt a számolást alkalmazzuk visszafelé a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle D\) pontoknál lévő szögekre. Jelölje az átlók metszéspontját \(\displaystyle M\), a merőlegesség miatt
\(\displaystyle \frac {\tg CBD\sphericalangle \cdot \tg ADB\sphericalangle }{\tg DBA\sphericalangle \cdot \tg BDC\sphericalangle}=\frac {\frac {CM}{BM}\cdot \frac{AM}{DM}}{\frac{AM}{BM}\cdot \frac{CM}{DM}}=1.\)
Ezzel az a) állítást beláttuk.
b) Kós Géza Térbe kilépő bizonyítások VI. cikkében szerepel az alábbi állítás:
Lemma. Legyen az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszögben \(\displaystyle \alpha = CAB\sphericalangle\), \(\displaystyle \beta = DAC\sphericalangle\), \(\displaystyle \gamma = BCA\sphericalangle\) és \(\displaystyle \delta = ACD\sphericalangle\). Az ABCD négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha
\(\displaystyle \frac {\tg \frac \beta 2} {\tg \frac \alpha 2} = \frac{\tg \frac \delta 2}{ \tg \frac \gamma 2}.\)
A Lemma visszairánya szerint a feladat feltételéből következik, hogy \(\displaystyle ABCD\) érintőnégyszög. Majd ismét a Lemmát alkalmazva \(\displaystyle \alpha = CBD\sphericalangle\), \(\displaystyle \beta = DBA\sphericalangle\), \(\displaystyle \gamma = BDC\sphericalangle\) és \(\displaystyle \delta = ADB\sphericalangle\) választással kapjuk a b) rész állítását.
A teljesség kedvéért mutatunk a lemmára egy teljesen elemi bizonyítást is. Először egy ismert, önmagában is megjegyzésre méltó geometriai állítással kezdünk. (Lásd pl. Kubatov Antal: Azok a csodálatos érintőnégyszögek.)
Állítás. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög pontosan akkor érintőnégyszög, ha az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle ACD\) háromszögek beírt körei érintik egymást.
Az állítás bizonyítása. Tekintsük az ábrát, legyenek az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle ACD\) háromszögek beírt köreinek érintési pontjai az oldalakon rendre \(\displaystyle E_B\), \(\displaystyle F_B\) és \(\displaystyle G_B\), ill. \(\displaystyle E_D\), \(\displaystyle F_D\) és \(\displaystyle G_D\) az ábra szerint. Az érintőnégyszög-tétel szerint \(\displaystyle ABCD\) pontosan akkor érintőnégyszög, ha \(\displaystyle AB+CD=BC+DA\). Ezt átírhatjuk az érintési pontokat felhasználva:
\(\displaystyle AB+CD=BC+AD \; \Leftrightarrow \; (AF_B+F_BB)+(CF_D+F_DD)=(BG_B+G_BC)+(DG_D+G_DA).\)
Külső pontból körhöz húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak, így kapjuk a következőt:
\(\displaystyle (AF_B+F_BB)+(CF_D+F_DD)=(BG_B+G_BC)+(DG_D+G_DA) \;\Leftrightarrow \; AF_B+CF_D=G_BC+G_DA \;\Leftrightarrow \; AE_B+CE_D=CE_B+AE_D.\)
Másrészt nyilvánvalóan \(\displaystyle AE_B+CE_B=AE_D+CE_D\), ezt hozzáadva az utolsó egyenlőséghez nyerjük, hogy
\(\displaystyle AE_B+CE_D=CE_B+AE_D \;\Leftrightarrow \; 2AE_B=2AE_D \;\Leftrightarrow \; E_B=E_D.\)
Ez az állítást igazolja.
Most rátérünk a lemma bizonyítására. Az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle ACD\) háromszögek beírt köreinek középpontjai legyenek \(\displaystyle I_B\) és \(\displaystyle I_D\). Az a) pontban leírtakat alkalmazva az \(\displaystyle AI_BCI_D\) négyszögre, felhasználva, hogy \(\displaystyle I_B\) és \(\displaystyle I_D\) a megfelelő szögfelezők metszéspontja, kapjuk, hogy
\(\displaystyle \tg\dfrac{BAC\sphericalangle}{2} \cdot \tg\dfrac{DCA\sphericalangle}{2} = \tg\dfrac{CAD\sphericalangle}{2} \cdot \tg\dfrac{ACB\sphericalangle}{2} \; \Leftrightarrow \; E_B=E_D.\)
Az állítással együtt ez igazolja a lemmát.
Megjegyzés. Mindkét rész megoldásában az a lényeges észrevétel, hogy a trigonometrikus feltételek ekvivalensek egy-egy geometriai tulajdonsággal (az a) részben az átlók merőlegességével, a b) részben azzal, hogy a négyszög érintőnégyszög).
Statisztika:
24 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Ali Richárd, Bodor Ádám, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Holló Martin, Kerekes András, Li Mingdao, Miszori Márton, Sajter Klaus, Sárdinecz Dóra, Vincze Marcell, Weng Chenxin. 5 pontot kapott: Rajtik Sándor Barnabás, Varga 511 Vivien, Várhegyi Hanna. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2026. januári matematika feladatai