A B. 5510. feladat (2026. február)

B. 5510. Egy kocka lapjaira írjunk valós számokat úgy, hogy a szemközti lapokon levő számok összege mindig \(\displaystyle 7\) legyen. Ezután képezzük mindegyik csúcsnál a vele érintkező lapokra írt számok szorzatát. Legfeljebb mennyi lehet ennek a nyolc szorzatnak az összege?

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(3 pont)

A beküldési határidő 2026. március 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Az egyik csúccsal érintkező lapokra írt számok legyenek \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\). Ekkor a másik három lapra írt számok: \(\displaystyle 7-a\), \(\displaystyle 7-b\) és \(\displaystyle 7-c\) (úgy, hogy a szemközti lapokon az összeg 7 legyen). Mind a nyolc csúcsnál úgy kapjuk a szorzatot, hogy az első tényező \(\displaystyle a\) vagy \(\displaystyle 7-a\), a második \(\displaystyle b\) vagy \(\displaystyle 7-b\), a harmadik pedig \(\displaystyle c\) vagy \(\displaystyle 7-c\). Ennek a nyolc szorzatnak az összegét úgy is megkaphatjuk, hogy kiszámoljuk az alábbi szorzatot:

\(\displaystyle [a+(7-a)]\cdot [b+(7-b)] \cdot [c+(7-c)],\)

hiszen a (szögletes) zárójeleket felbontva épp a nyolc kérdéses szorzat összegét kapjuk. Világos, hogy ez a szorzat \(\displaystyle a,b,c\) értékétől függetlenül \(\displaystyle 7^3=343\)-mal egyenlő.

Tehát a nyolc szorzat összege legfeljebb 343 lehet (valójában mindig pontosan 343 lesz).

2. megoldás. A párhuzamos lapokra írt számok legyenek \(\displaystyle \frac72\pm x\), \(\displaystyle \frac72\pm y\) és \(\displaystyle \frac72\pm z\). Ekkor a \(\displaystyle (\frac72\pm x)(\frac72\pm y)(\frac72\pm z)\) alakú szorzatokat kell összegeznünk, ahol a \(\displaystyle \pm\) előjelek egymástól függetlenül megválaszthatók. Ha felbontjuk a zárójeleket, akkor a \(\displaystyle (\frac72)^3\) szorzat előjele mind a nyolc esetben \(\displaystyle +\) lesz, míg a többi szorzaté (mint például \(\displaystyle (\frac72)^2x\), \(\displaystyle (\frac72)xy\) vagy \(\displaystyle xyz\)) négyszer \(\displaystyle +\) és négyszer \(\displaystyle -\). Így a teljes összeg \(\displaystyle x,y,z\) értékétől függetlenül \(\displaystyle 8(\frac72)^3=7^3=343\).

Tehát a nyolc szorzat összege legfeljebb 343 lehet.

Statisztika:

A B. 5510. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. februári matematika feladatai