 |
A B. 5511. feladat (2026. február) |
B. 5511. Mutassuk meg, hogy ha az egységkör átmérőjét egy húr \(\displaystyle 45\) fokban metszi, akkor a húron keletkező két szakasz hosszának négyzetösszege \(\displaystyle 2\).
Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)
(3 pont)
A beküldési határidő 2026. március 10-én LEJÁRT.
1. Megoldás. Legyen az a két szakasz, amelyre az átmérő osztja a \(\displaystyle 45^\circ\)-os szöget bezáró húrt \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) hosszúságú. Ha a húr átmegy a kör középpontján, akkor természetesen \(\displaystyle x=y=1\), \(\displaystyle x^2+y^2=2\).
A továbbiakban elegendő azt vizsgálnunk, amikor a húr nem megy át a középponton. Legyenek a végpontjai \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\), metszéspontja az átmérővel \(\displaystyle P\), felezőpontja pedig az \(\displaystyle F\) pont. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy \(\displaystyle AP=x<y=PB\). A húr felezőmerőlegese átmegy a kör középpontján, továbbá felhasználva, hogy \(\displaystyle FPO\sphericalangle=45^\circ\), tudjuk, hogy \(\displaystyle PFO\) egyenlő szárú derékszögű háromszög. A húr hosszának fele \(\displaystyle FB=FA=\frac{x+y}{2}\), innen számolható az \(\displaystyle OF\) szakasz hossza is:
\(\displaystyle OF=FP=\frac{x+y}{2}-x=\frac{y-x}{2}.\)
Végül írjuk fel az egységnyi átfogójú \(\displaystyle OFB\) háromszögre a Pitagorasz-tételt:
\(\displaystyle OF^2+FB^2=1,\)
\(\displaystyle \left(\frac{y-x}{2}\right)^2+\left(\frac{y+x}{2}\right)^2=\frac{y^2+2xy+x^2+y^2-2xy+x^2}{4}=\frac{2y^2+2x^2}{4}=\frac{x^2+y^2}{2}=1.\)
Tehát valóban a \(\displaystyle P\) pont választásától függetlenül \(\displaystyle x^2+y^2=2\).
2. Megoldás. Az első megoldás jelöléseit megtartva most tükrözzük az \(\displaystyle AB\) húrt az átmérő egyenesére, a végpontok legyenek \(\displaystyle A'\) és \(\displaystyle B'\). A távolságtartás alapján \(\displaystyle A'P=x\) és \(\displaystyle B'P=y\).
A húr és az átmérő \(\displaystyle 45^\circ\)-os szöget zár be, így a tükrözés után \(\displaystyle BPB'\) egyenlő szárú derékszögű háromszög. Emiatt az \(\displaystyle A'B\) húrhoz tartozó kerületi szög \(\displaystyle A'B'B\sphericalangle=45^\circ\). Az egységsugarú körben így az \(\displaystyle A'B\) húr hosszára
\(\displaystyle A'B=2\cdot \sin 45^\circ=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\)
értéket kapunk. Nincs más lépés hátra, mint az \(\displaystyle A'PB\) derékszögű háromszögre felírni a Pitagorasz-tételt:
\(\displaystyle x^2+y^2=A'P^2+BP^2=A'B^2=(\sqrt{2})^2=2. \)
Statisztika:
A B. 5511. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. februári matematika feladatai