A B. 5512. feladat (2026. február)

B. 5512. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle n\) pozitív egészekre

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[n]{k}}+\frac{1}{\sqrt[k]{n}}\geq 1+\frac{1}{kn}. \)

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2026. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A mértani és a számtani közép közti egyenlőtlenséget a \(\displaystyle k, \underbrace{1,1,\ldots,1}_{n-1~\text{db}}\) számokra alkalmazva:

\(\displaystyle \sqrt[n]{k} \leq \sqrt[n]{k \cdot 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1} = \frac{k + 1 + 1 + \ldots + 1}{n} = \frac{k+n-1}{n}. \)

Hasonlóan \(\displaystyle \sqrt[k]{n} \leq \frac{n+k-1}{k}\), és így

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[n]{k}}+\frac{1}{\sqrt[k]{n}} \geq \frac{k}{k+n-1} + \frac{n}{k+n-1} = 1 + \frac1{k+n-1} \geq 1 + \frac1{kn}. \)

Az utolsó egyenlőtlenségnél azt használtuk fel, hogy \(\displaystyle kn \geq k+n-1\), hiszen \(\displaystyle kn-k-n+1 = (k-1)(n-1) \geq 0\) teljesül tetszőleges \(\displaystyle k,n\) pozitív egészekre.

Statisztika:

A B. 5512. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. februári matematika feladatai