 |
A B. 5512. feladat (2026. február) |
B. 5512. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle n\) pozitív egészekre
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[n]{k}}+\frac{1}{\sqrt[k]{n}}\geq 1+\frac{1}{kn}. \)
Javasolta: Holló Gábor (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A mértani és a számtani közép közti egyenlőtlenséget a \(\displaystyle k, \underbrace{1,1,\ldots,1}_{n-1~\text{db}}\) számokra alkalmazva:
\(\displaystyle \sqrt[n]{k} \leq \sqrt[n]{k \cdot 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1} = \frac{k + 1 + 1 + \ldots + 1}{n} = \frac{k+n-1}{n}. \)
Hasonlóan \(\displaystyle \sqrt[k]{n} \leq \frac{n+k-1}{k}\), és így
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[n]{k}}+\frac{1}{\sqrt[k]{n}} \geq \frac{k}{k+n-1} + \frac{n}{k+n-1} = 1 + \frac1{k+n-1} \geq 1 + \frac1{kn}. \)
Az utolsó egyenlőtlenségnél azt használtuk fel, hogy \(\displaystyle kn \geq k+n-1\), hiszen \(\displaystyle kn-k-n+1 = (k-1)(n-1) \geq 0\) teljesül tetszőleges \(\displaystyle k,n\) pozitív egészekre.
Statisztika:
59 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Albert Luca Liliána, Ali Richárd, Bao Nguyen Gia, Beinschroth Máté, Benedek Olivér , Bodó Rókus Dániel, Bodor Ádám, Bővíz Dániel, Budai Máté, Deák Boldizsár Tamás, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Gaál Gergely, Hajba Milán, Hajszter Dóra, Hegyi Fruzsina , Hideg János, Holló Martin, József Áron, Kerekes András, Kurucz Lilien Jázmin, Li Mingdao, Maróti Olga, Máté Kristóf, Mihály Attila, Mikó Hédi Irma, Miszori Gergő, Miszori Márton, Nagy Ádám Kornél , Nagypál Katóca, Papirnyy Oleksandr, Papp Mátyás, Pataki Gergő, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sasvári Zoltán, Sha Jingyuan, Sógor-Jász Soma, Szabó-Caceres Alan Martin, Taczman Vince, Takács András, Tóth Luca, Tulkán Dávid, Varga 511 Vivien, Vincze Marcell, Weng Chenxin, Wiener Marcell. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2026. februári matematika feladatai