 |
A B. 5513. feladat (2026. február) |
B. 5513. Az \(\displaystyle ABCDEF\) szabályos hatszög belsejében adott egy \(\displaystyle P\) pont úgy, hogy az \(\displaystyle ABP\), \(\displaystyle BCP\) és \(\displaystyle CDP\) háromszögek területe rendre \(\displaystyle 25\), \(\displaystyle 31\), illetve \(\displaystyle 32\) egység. Számítsuk ki a \(\displaystyle DEP\), \(\displaystyle EFP\) és \(\displaystyle FAP\) háromszögek területét.
Javasolta: Kós Géza (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle ABP\), \(\displaystyle BCP\), \(\displaystyle CDP\), \(\displaystyle DEP\), \(\displaystyle EFP\) és \(\displaystyle FAP\) háromszögek területét jelölje rendre \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\), \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\); a hatszög oldala legyen \(\displaystyle x\), s használjuk az ábra jelöléseit.
Először vegyük észre, hogy \(\displaystyle a+d=b+e=c+f\). Valóban, például
\(\displaystyle a+d=T_{ABP}+T_{DEP}=\frac {AB\cdot PA_1}{2}+ \frac {DE\cdot PD_1}{2}=\frac{x}{2}(PA_1+PD_1)=\frac x 2 \cdot A_1D_1=\frac{\sqrt{3}}{2} x^2,\)
ahol az utolsó lépésnél kihasználtuk, hogy az \(\displaystyle x\) oldalú szabályos hatszög szemköztes oldalegyeneseinek távolsága \(\displaystyle \sqrt 3 x\). (Valójában a konkrét értékre nincs szükségünk, csak arra, hogy a szemköztes oldalak távolsága mindig ugyanannyi.) Ugyanígy számíthatjuk \(\displaystyle b+e\) és \(\displaystyle c+f\) értékeket is, ami igazolja, hogy \(\displaystyle a+d=b+e=c+f\).
Második lépésként belátjuk, hogy \(\displaystyle a+c+e=b+d+f\). Ehhez egészítsük ki a szabályos hatszöget egy \(\displaystyle XYZ\) szabályos háromszöggé az ábrán látható módon. Vegyük észre, hogy \(\displaystyle b=T_{BCP}=T_{XYP}/3\), mert \(\displaystyle BC=XY/3\), és az oldalakhoz tartozó magasság közös. (S ugyanígy \(\displaystyle d=T_{YZP}/3\) és \(\displaystyle f=T_{ZXP}/3\).) Továbbá világos, hogy \(\displaystyle T_{XYZ}=3T_{ABCDEF}/2\). Ezek alapján
\(\displaystyle b+d+f=\frac{T_{XYP}+T_{YZP}+T_{ZXP}}{3}=\frac {T_{XYZ}}{3}=\frac{T_{ABCDEF}}{2},\)
azaz \(\displaystyle b+d+f\) a hatszög területének fele, így \(\displaystyle a+c+e\) a másik fele, és \(\displaystyle a+c+e=b+d+f\), ahogyan állítottuk.
A kapott összefüggésekbe beírva az \(\displaystyle a=25\), \(\displaystyle b=31\) és \(\displaystyle c=32\) adatokat, a \(\displaystyle d\), \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) mennyiségekre a következő egyenletrendszerhez jutunk:
\(\displaystyle \begin{cases} 25+d=31+e=32+f\\ 25+32+e=31+d+f \end{cases} \)
A második sor bal oldalából \(\displaystyle 31+e\)-t, a jobb oldalából a vele egyenlő \(\displaystyle 25+d\)-t levonva \(\displaystyle 26=6+f\), adódik, azaz \(\displaystyle f=20\). Ezt az első sorba visszaírva \(\displaystyle d=27\) és \(\displaystyle e=21\). Azaz a keresett területek: \(\displaystyle T_{DEP}=27\), \(\displaystyle T_{EFP}=21\) és \(\displaystyle T_{FAP}=20\).
Megjegyzés. A teljesen precíz megoldáshoz hozzátartozik annak megmutatása is, hogy a feladat feltételeit kielégítő szabályos hatszög és \(\displaystyle P\) pont létezik. Ennek részletes igazolását az olvasóra bízzuk, egy lehetséges utat vázolunk: egy tetszőleges \(\displaystyle ABCDEF\) szabályos hatszögben szerkesszük meg azt a \(\displaystyle P\) pontot, amire \(\displaystyle T_{ABP}/T_{BCP}=25/31\) és \(\displaystyle T_{BCP}/T_{CDP}=31/32\) teljesül. Hasonló háromszögek miatt az első feltételt kielégítő pontok egy \(\displaystyle B\)-re illeszkedő egyenesen, a második feltételt kielégítő pontok pedig egy \(\displaystyle C\)-re illeszkedő egyenesen vannak, ezek metszéspontjaként a keresett \(\displaystyle P\) pont megkapható. Ezután az ábrát megfelelő arányban nagyítva a kívánt szerkesztéshez jutunk.
Statisztika:
A B. 5513. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. februári matematika feladatai