A B. 5514. feladat (2026. február)

B. 5514. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalait a szokásos módon jelölve \(\displaystyle a\geq b\geq c\). A \(\displaystyle C\) csúcsból induló szögfelező talppontja \(\displaystyle P\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle {CP}\), \(\displaystyle {BP}\), \(\displaystyle {CP}\), \(\displaystyle {PA}\) hosszúságú oldalakkal szerkesztett húrtrapéz átlója \(\displaystyle \sqrt{ab}\) hosszúságú.

Javasolta: Hujter Mihály (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk \(\displaystyle ABC\) háromszögben a szokásos jelöléseket, \(\displaystyle CP\) szögfelezőt jelölje \(\displaystyle g\), valamint legyen \(\displaystyle BP=x\) és \(\displaystyle AP=y\).

A szögfelezőtétel szerint

\(\displaystyle x=\frac {ac}{a+b} \qquad \text{és} \qquad y=\frac{bc}{a+b}.\)

A \(\displaystyle T_{ABC}=T_{APC}+T_{PBC}\) összefüggésbe a szinuszos területképleteket beírva nyerjük, hogy

\(\displaystyle \frac {ab\sin \gamma}{2}=\frac{ag\sin\frac{\gamma}{2}}{2}+\frac{bg\sin\frac{\gamma}{2}}{2};\)

ebből pedig a \(\displaystyle \sin \gamma =2 \sin \gamma/2 \cos \gamma/2\) azonosságot felhasználva

\(\displaystyle g=\frac{2ab\cos \frac{\gamma}{2}}{a+b}.\)

Először megmutatjuk, hogy \(\displaystyle g,x,g,y\) oldalakkal valóban szerkeszthető húrnégyszög. Ehhez elegendő leellenőrizni a háromszög-egyenlőtlenségek teljesülését. Az \(\displaystyle a\ge b\) feltétel miatt \(\displaystyle x\ge y\), így \(\displaystyle x+g+g>y\) és természetesen \(\displaystyle g+x+y>g\) automatikusan teljesül. Az egyetlen nem triviális ellenőrizendőt, a \(\displaystyle \gamma\le 60^\circ\) feltételt kihasználva, a következőképpen láthatjuk:

\(\displaystyle g+g+y=\frac {4ab \cos \frac{\gamma}{2}}{a+b}+\frac{bc}{a+b}>\frac {4ab \frac{\sqrt 3}{2}}{a+b}>\frac{ab}{a+b}\ge \frac{ac}{a+b}=x.\)

Ezek után jelölje a \(\displaystyle g,x,g,y\) oldalakkal szerkesztett húrnégyszög átlóját \(\displaystyle e\), és írjuk fel a Ptolemaiosz-tételt. A tétel szerint

\(\displaystyle e^2=xy+g^2=\frac{ac\cdot bc}{(a+b)^2}+\frac{4a^2b^2\cos^2\frac{\gamma}{2}}{(a+b)^2}=ab \cdot \frac{c^2+4ab\cos^2\frac{\gamma}{2}}{(a+b)^2}.\)

Felhasználva a koszinusz-tételt (\(\displaystyle c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma\)), valamint a \(\displaystyle \cos \gamma= 2\cos^2 \gamma/2 -1\) azonosságot, adódik, hogy

\(\displaystyle \frac{c^2+4ab\cos^2\frac{\gamma}{2}}{(a+b)^2}=\frac{a^2+b^2-2ab(2\cos^2 \gamma/2 -1)+4ab\cos^2\frac{\gamma}{2}}{(a+b)^2}=\frac{a^2+b^2+2ab}{(a+b)^2}=1.\)

Ezt visszaírva az előző összefüggésbe \(\displaystyle e^2=ab\) következik, éppen amit bizonyítani akartunk.

Megjegyzés. A feladat eredménye egyúttal egy (újabb) eljárást szolgáltat a \(\displaystyle \sqrt{ab}\) hosszúságú szakasz szerkesztésére.

Statisztika:

A B. 5514. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. februári matematika feladatai