A B. 5516. feladat (2026. február)

B. 5516. Egy parabolába beleírtunk egy derékszögű háromszöget úgy, hogy az átfogóhoz tartozó magasság talppontja a parabola fókuszpontja. Mekkorák lehetnek a háromszög szögei?

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2026. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a parabola fókuszpontja \(\displaystyle F\), vezéregyenese \(\displaystyle d\). A parabolába beírt háromszög csúcsai legyenek \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) úgy, hogy \(\displaystyle ACB\sphericalangle=90^\circ\). Az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontok merőleges vetületeit a vezéregyenesen jelölje rendre \(\displaystyle A_0\), \(\displaystyle B_0\), illetve \(\displaystyle C_0\). A parabolához az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontokban húzott érintők metszéspontja legyen \(\displaystyle D\).

A parabola definíciója szerint \(\displaystyle AF=AA_0\), \(\displaystyle BF=BB_0\) és \(\displaystyle CF=CC_0\), továbbá jól ismert, hogy az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BD\) érintők felezik az \(\displaystyle A_0AF\sphericalangle\), illetve a \(\displaystyle B_0BF\sphericalangle\) szöget, így az \(\displaystyle F\) tükörképe az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BD\) érintőkre \(\displaystyle A_0\), illetve \(\displaystyle B_0\). Tehát \(\displaystyle AA_0DF\) és \(\displaystyle BB_0DF\) is derékszögű deltoid.

Az \(\displaystyle AA_0B_0B\) trapéz szögeiből leolvashatjuk, hogy

\(\displaystyle A_0DF\sphericalangle = 180^\circ-A_0AF\sphericalangle = B_0BF\sphericalangle = 180^\circ-B_0DF\sphericalangle, \)

ezért a \(\displaystyle D\) pont a vezéregyenes \(\displaystyle A_0B_0\) szakaszán van.

Mivel \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BD\) a két deltoid szimmetriatengelye, ezek felezik az \(\displaystyle A_0DF\sphericalangle\) és \(\displaystyle B_0DF\sphericalangle\) szöget, így merőlegesek egymásra. Ezért \(\displaystyle ABD\) háromszög is derékszögű. Mivel pedig a két deltoid derékszögű, \(\displaystyle DF\) az \(\displaystyle ABD\) háromszög \(\displaystyle D\)-ből induló magassága.

Az \(\displaystyle A,B,F\) pontokhoz csak két olyan derékszögű háromszög létezik, amelynek átfogója \(\displaystyle AB\), és \(\displaystyle F\) a magasság talppontja. Két ilyen háromszöget már találtunk: a harmadik csúcs vagy a \(\displaystyle C\) pont a parabolán, vagy pedig a \(\displaystyle D\) pont a vezéregyenesen. Ezek tehát egymás tükörképei az \(\displaystyle AB\) szakaszra és az \(\displaystyle F\) pontra is.

A \(\displaystyle C_0CD\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle CD=2CF=2CC_0\), tehát ez egy félszabályos háromszög, \(\displaystyle C_0DC\sphericalangle=30^\circ\). A \(\displaystyle DA\) és \(\displaystyle DB\) szakaszok a \(\displaystyle C_0DC\sphericalangle=30^\circ\) belső és külső szögfelezői (hogy melyik melyik, az a pontok sorrendjétől függ). Ezért az \(\displaystyle CAB\sphericalangle=90^\circ-FCA\sphericalangle=90^\circ-FDA\sphericalangle=90^\circ-\frac12FDA_0\sphericalangle\) és \(\displaystyle CBA\sphericalangle=90^\circ-FCB\sphericalangle=90^\circ-FDB\sphericalangle=90^\circ-\frac12 FDB_0\sphericalangle\) szögek közül az egyik \(\displaystyle 15\), a másik \(\displaystyle 75\) fokos.

Az \(\displaystyle ABC\) háromszög szögei tehát \(\displaystyle 15^\circ\), \(\displaystyle 75^\circ\) és persze \(\displaystyle 90^\circ\).

Megjegyzés. Mivel bármely két parabola hasonló, ezért az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a parabola egyenlete \(\displaystyle y=x^2\). Ekkor \(\displaystyle F=(0,\tfrac14)\), \(\displaystyle d=\big\{y=-\tfrac14\big\}\). A \(\displaystyle d\) egyenes \(\displaystyle F\)-re való tükörképe, az \(\displaystyle y=\tfrac34\) egyenes átmegy a \(\displaystyle C\) ponton, ezért \(\displaystyle C=(\pm\tfrac{\sqrt3}2,\tfrac34)\) és \(\displaystyle D=(\mp\tfrac{\sqrt3}2,-\tfrac14)\). A \(\displaystyle CD\) szakaszfelező merőlegesét elmetszve a parabolával, megkapjuk az \(\displaystyle A,B\) pontokat: \(\displaystyle (\mp\tfrac{\sqrt3}2\mp1,\tfrac74+\sqrt3)\) és \(\displaystyle (\mp\tfrac{\sqrt3}2\pm1,\tfrac74-\sqrt3)\).

Statisztika:

26 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Balla Ignác , Bao Nguyen Gia, Budai Máté, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Hideg János, Holló Martin, Li Mingdao, Papp Mátyás, Pázmándi József Áron, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Varga 511 Vivien, Várhegyi Hanna, Vincze Marcell, Wiener Marcell.
5 pontot kapott:	Ali Richárd, Halmosi Dávid.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2026. februári matematika feladatai