A B. 5518. feladat (2026. március)

B. 5518. Legyenek \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle k\) pozitív egészek. A derékszögű koordináta-rendszerben a \(\displaystyle (0;0)\), \(\displaystyle (n;0)\), \(\displaystyle (k;1)\) és \(\displaystyle (0;1)\) pontok által meghatározott rácstrapézt hányféleképpen lehet \(\displaystyle 1/2\) területű rácsháromszögekre bontani? (Egy sokszöget akkor nevezünk rácssokszögnek, ha csúcsainak mindkét koordinátája egész.)

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel a felbontásban szerepelő háromszögek minden csúcsának \(\displaystyle y\) koordinátája 0 vagy 1, ezért a háromszögek kétfélék lehetnek:

• Két csúcs \(\displaystyle y\) koordinátája 0 és egy csúcs \(\displaystyle y\) koordinátája 1. Ezeket nevezzük álló háromszögeknek. (Az ábrán narancsszínűek.)
• Két csúcs \(\displaystyle y\) koordinátája 1 és egy csúcs \(\displaystyle y\) koordinátája 0. Ezeket nevezzük függő háromszögeknek. (Az ábrán kékek.)

Mindegyik háromszögnek van egy vízszintes oldala. Mivel a háromszögek területe \(\displaystyle 1/2\), és a harmadik csúcsuk a vízszintes oldalegyenestől 1 távolságra van, ezért a vízszintes oldal mindig 1 hosszú.

Tehát a trapéz alsó, \(\displaystyle n\) hosszú alapja \(\displaystyle n\) db álló háromszög alapjára bomlik, míg a felső, \(\displaystyle k\) hosszú alap \(\displaystyle k\) db függő háromszög alapjára bomlik (azaz \(\displaystyle n\) álló és \(\displaystyle k\) függő háromszög).

Mivel a trapéz területe \(\displaystyle (n+k)/2\), ezért a felbontásban szereplő háromszögek száma \(\displaystyle n+k\).

Számozzuk meg a háromszögeket 1-től \(\displaystyle (n+k)\)-ig, balról jobbra, az ábrán látható módon:

• a trapéz bal oldali \(\displaystyle (0,0)\)-t és \(\displaystyle (0,1)\)-et összekötő szárát oldalaként tartalmazó háromszög legyen az \(\displaystyle 1\)-es;
• az \(\displaystyle 1\)-es számú háromszögnek van egy másik nem vízszintes oldala is, ez egy másik háromszögnek is oldala, ez legyen a \(\displaystyle 2\)-es;
• és minden \(\displaystyle i = 2,3,\ldots,n+k-1\) esetén az \(\displaystyle i\) jelű háromszög egyik nem vízszintes oldalával az \(\displaystyle i-1\) számú, a másik vízszintes oldalával az \(\displaystyle i+1\) számú háromszöghöz csatlakozik.

Az álló háromszögek számai legyenek narancs színűek, a függő háromszögeké kékek. Minden háromszög-felbontás megadja az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle n+k\) számok egy olyan kék-narancs színezését, amelyben \(\displaystyle k\) kék és \(\displaystyle n\) narancs színű szám van. Másrészt viszont a számok minden ilyen színezése egyértelműen megfeleltethető egy háromszög-felbontásnak, hiszen a számok szerint sorban haladva mindig egyértelműen berajzolható a soron következő háromszög, a színe szerint állóként vagy függőként.

Tehát a háromszög-felbontások bijekcióban állnak a színezésekkel, számuk ugyanannyi.

Az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle n+k\) számok kék-narancs színezései, amelyben \(\displaystyle k\) kék és \(\displaystyle n\) narancs színű szám van, az ismétléses kombináció egy közismert példája, a válasz tehát \(\displaystyle \binom{n+k}{n}\) (vagy \(\displaystyle \binom{n+k}{k}\), ízlés szerint).

Statisztika:

A B. 5518. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai