A B. 5518. feladat (2026. március)

B. 5518. Legyenek \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle k\) pozitív egészek. A derékszögű koordináta-rendszerben a \(\displaystyle (0;0)\), \(\displaystyle (n;0)\), \(\displaystyle (k;1)\) és \(\displaystyle (0;1)\) pontok által meghatározott rácstrapézt hányféleképpen lehet \(\displaystyle 1/2\) területű rácsháromszögekre bontani? (Egy sokszöget akkor nevezünk rácssokszögnek, ha csúcsainak mindkét koordinátája egész.)

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel a felbontásban szerepelő háromszögek minden csúcsának \(\displaystyle y\) koordinátája 0 vagy 1, ezért a háromszögek kétfélék lehetnek:

• Két csúcs \(\displaystyle y\) koordinátája 0 és egy csúcs \(\displaystyle y\) koordinátája 1. Ezeket nevezzük álló háromszögeknek. (Az ábrán narancsszínűek.)
• Két csúcs \(\displaystyle y\) koordinátája 1 és egy csúcs \(\displaystyle y\) koordinátája 0. Ezeket nevezzük függő háromszögeknek. (Az ábrán kékek.)

Mindegyik háromszögnek van egy vízszintes oldala. Mivel a háromszögek területe \(\displaystyle 1/2\), és a harmadik csúcsuk a vízszintes oldalegyenestől 1 távolságra van, ezért a vízszintes oldal mindig 1 hosszú.

Tehát a trapéz alsó, \(\displaystyle n\) hosszú alapja \(\displaystyle n\) db álló háromszög alapjára bomlik, míg a felső, \(\displaystyle k\) hosszú alap \(\displaystyle k\) db függő háromszög alapjára bomlik (azaz \(\displaystyle n\) álló és \(\displaystyle k\) függő háromszög).

Mivel a trapéz területe \(\displaystyle (n+k)/2\), ezért a felbontásban szereplő háromszögek száma \(\displaystyle n+k\).

Számozzuk meg a háromszögeket 1-től \(\displaystyle (n+k)\)-ig, balról jobbra, az ábrán látható módon:

• a trapéz bal oldali \(\displaystyle (0,0)\)-t és \(\displaystyle (0,1)\)-et összekötő szárát oldalaként tartalmazó háromszög legyen az \(\displaystyle 1\)-es;
• az \(\displaystyle 1\)-es számú háromszögnek van egy másik nem vízszintes oldala is, ez egy másik háromszögnek is oldala, ez legyen a \(\displaystyle 2\)-es;
• és minden \(\displaystyle i = 2,3,\ldots,n+k-1\) esetén az \(\displaystyle i\) jelű háromszög egyik nem vízszintes oldalával az \(\displaystyle i-1\) számú, a másik vízszintes oldalával az \(\displaystyle i+1\) számú háromszöghöz csatlakozik.

Az álló háromszögek számai legyenek narancs színűek, a függő háromszögeké kékek. Minden háromszög-felbontás megadja az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle n+k\) számok egy olyan kék-narancs színezését, amelyben \(\displaystyle k\) kék és \(\displaystyle n\) narancs színű szám van. Másrészt viszont a számok minden ilyen színezése egyértelműen megfeleltethető egy háromszög-felbontásnak, hiszen a számok szerint sorban haladva mindig egyértelműen berajzolható a soron következő háromszög, a színe szerint állóként vagy függőként.

Tehát a háromszög-felbontások bijekcióban állnak a színezésekkel, számuk ugyanannyi.

Az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle n+k\) számok kék-narancs színezései, amelyben \(\displaystyle k\) kék és \(\displaystyle n\) narancs színű szám van, az ismétléses kombináció egy közismert példája, a válasz tehát \(\displaystyle \binom{n+k}{n}\) (vagy \(\displaystyle \binom{n+k}{k}\), ízlés szerint).

Statisztika:

66 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Balla Ignác , Baran Júlia, Bodó Rókus Dániel, Czanik Dániel, Fajszi Horka, Flavio Romagnoli, Fülöp Levente, Görömbey Tamás, Hajba Milán, Hajszter Dóra, Hideg János, József Áron, Jurácsik Marcell, Kiss Villő Zsófia, Kun Milán, Kun Zsófia, Li Mingdao, Lovas Márk, Maróti Bálint, Maróti Olga, Mi Feiyu, Mikó Hédi Irma, Miszori Gergő, Miszori Márton, Molnár Marcell, Molnár-Sáska Tamás, Nagy 707 Botond, Nagypál Katóca, Péter Hanna, Rotter Szabolcs, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sarusi-Kis Balázs, Sasvári Zoltán, Schmidt Botond, Sógor-Jász Soma, Szabó-Caceres Alan Martin, Szoldatics-Nagy Zsófia, Taczman Vince, Takács András, Tarján Emma, Tóth Luca, Várhegyi Hanna, Varsányi Benedek, Wang Tianyi , Weng Chenxin, Wiener Marcell, Winkler-Antal Dalma.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai