A B. 5519. feladat (2026. március)

B. 5519. Viktor rajzolt egy egységnyi területű paralelogrammát. Bálint megmérte egy oldalát és egy átlóját. Legalább mekkora a két megmért szakasz összege?

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a szóban forgó oldal \(\displaystyle a\), a megmért átló \(\displaystyle e\), továbbá az \(\displaystyle a\) oldalhoz tartozó magasság \(\displaystyle m\). A paralelogramma területét az oldal és a hozzátartozó magasság szorzata adja. Esetünkben:

\(\displaystyle T=a\cdot m=1 \,\text{területegység}.\)

A paralelogramma bármelyik átlója legalább akkora, mint a magasság, mivel a magasság szigorúan a két párhuzamos egyenes távolsága, az átló pedig a két párhuzamos egyenes egy-egy pontját köti össze.

Ennek alapján most már a számtani és mértani közép felhasználásával:

\(\displaystyle \frac{a+e}{2}\ge \sqrt{a\cdot e}\ge \sqrt{a\cdot m}=1,\)

vagyis

\(\displaystyle a+e\ge2.\)

Az egyenlőséghez két dolog is szükséges. Egyrészt a magasságnak meg kell egyeznie az átlóval, ez akkor következik be, amikor az átló merőleges az oldalra, másrészt az oldalnak és a magasságnak is meg kell egyeznie, emiatt \(\displaystyle a=m=e=1\).

Az ennek megfelelő paralelogramma két egységnyi befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög befogójukkal összefordítva az ábra szerint.

Statisztika:

A B. 5519. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai