 |
A B. 5520. feladat (2026. március) |
B. 5520. Adott a síkon két kör egymáson kívül, továbbá egy \(\displaystyle d_1\) és egy \(\displaystyle d_2\) hosszúságú szakasz. Hány olyan egyenes létezik, amely az első körből \(\displaystyle d_1\), a másodikból \(\displaystyle d_2\) hosszúságú húrt metsz ki?
Javasolta: Kiss Géza (Csömör)
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük az első \(\displaystyle k_1\)-gyel jelölt kör sugarát \(\displaystyle r_1\)- gyel, a másodi \(\displaystyle k_2\)-vel jelölt körét pedig \(\displaystyle r_2\)-vel. A feladat során feltesszük, hogy a \(\displaystyle d\), \(\displaystyle d_1\) és \(\displaystyle d_2\) szakaszhosszak pozitívak.
A feladat megoldása előtt bebizonyítunk egy (később többször felhasznált) lemmát.
Lemma: Az \(\displaystyle r\) sugarú körbe rajzolt \(\displaystyle d<2r\) hosszú húrok felezőpontjainak mértani helye: egy az eredeti körrel koncentrikus (kisebb) kör; és ez a kör (az eredeti kör, valamint a \(\displaystyle d\) szakaszhossz ismeretében) szerkeszthető. Továbbá valamennyi ilyen \(\displaystyle d\) hosszúságú húr éppen a felezőpontjában érinti ezt a kisebb kört.
A lemma bizonyítása: Használjuk a fenti ábrát, legyen a \(\displaystyle d\) hosszú húr két végpontja \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\), felezőpontja \(\displaystyle F\), a kör középpontja pedig \(\displaystyle O\). \(\displaystyle AOB\) háromszög \(\displaystyle OA=OB\) miatt egyenlőszárú, így az \(\displaystyle AB\) alap \(\displaystyle F\) felezőpontjára \(\displaystyle OF \perp AB\), továbbá \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle O\)-tól (Pitagorasz tétele miatt) \(\displaystyle OF=\sqrt{r^2-\frac{d^2}{4}}\) távolságra van. Azaz a húr helyzetétől függetlenül az \(\displaystyle OF\) távolság állandó, így a felezőpontok mértani helye valóban az \(\displaystyle O\)-tól azonos \(\displaystyle 0<\sqrt{r^2-\frac{d^2}{4}}\) távolságra lévő pontok halmaza a síkon, vagyis valóban kör. \(\displaystyle OF \perp AB\) miatt pedig a húr érinti ezt a kört.
A kis kör szerkesztése is nagyon egyszerű, rajzoljunk meg egy tetszőleges \(\displaystyle d\) hosszú húrt a körben, szerkesszük meg a húr \(\displaystyle F\) felezőpontját, majd rajzoljuk meg az \(\displaystyle O\) középpontú, \(\displaystyle OF\) sugarú kört. A továbbiakban erre az \(\displaystyle O_2\) középpontú kisebb körre \(\displaystyle \ell\) körként fogunk hivatkozni.
Ezzel a lemmát bebizonyítottuk. Most lássuk az eredeti feladat megoldását. A leírás során a lehetséges eseteket \(\displaystyle d_1\) és \(\displaystyle d_2\) hossza alapján négy esetre bontjuk.
I.eset: Ha \(\displaystyle d_1>2 r_1\), vagy \(\displaystyle d_2 > 2 r_2\), akkor nyilván nincs ilyen egyenes (azaz nem is szerkeszthető).
II.eset: Ha \(\displaystyle d_1=2 r_1\), és \(\displaystyle d_2 = 2 r_2\), akkor megint nyilvánvaló módon egyetlen megfelelő egyenes van, a \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) körök centrálisa (azaz a két kör középpontját összekötő egyenes), és ennek szerkesztése is nyilvánvaló.
III.eset: Ha \(\displaystyle d_1=2r_1\) és \(\displaystyle d_2 < 2 r_2\), akkor két megfelelő egyenes van, és ezek szerkeszthetők. Ennek igazolása következik. (Ehhez használjuk a második ábrát és jelöléseit.) \(\displaystyle d_1=2r_1\) miatt a \(\displaystyle k_1\) kör húrja nyilván átmérő, és így az egyenes átmegy a \(\displaystyle k_1\) kör középpontján. Továbbá a lemmánk miatt az egyenes a \(\displaystyle k_2\) kör belsejében érinti a \(\displaystyle d_2\) hosszú húrokhoz tartozó (és szerkeszthető) kisebb \(\displaystyle \ell\) kört.
Azaz a feladat a következő: a \(\displaystyle k_1\) kör \(\displaystyle O_1\) középpontjából (mint külső pontból) a (feltehetően már megszerkesztett) \(\displaystyle \ell\) körhöz érintőt kell húznunk. Ez a szerkesztés ismert, és tetszőleges \(\displaystyle O_1\) esetén pontosan két megfelelő egyenest kapunk. (A szerkesztés lépéseit a feladat leírása utáni megjegyzésben közöljük.)
III'.eset: Ha \(\displaystyle d_1<2r_1\) és \(\displaystyle d_2 = 2 r_2\), akkor az előző esethez hasonlóan szintén két megfelelő egyenes van, és ezek az előző esethez hasonlóan szerkeszthetők.
IV.eset: Ha pedig \(\displaystyle d_1<2r_1\) és \(\displaystyle d_2 < 2 r_2\), akkor négy megfelelő egyenes van, és ezek szerkeszthetők. Ennek igazolása következik. (Ehhez használjuk a harmadik ábrát és jelöléseit.)
A lemmánk alapján olyan egyeneseket keresünk, amik a \(\displaystyle k_1\) körrel koncentrikus \(\displaystyle \ell_1\) kört is érintik, és a \(\displaystyle k_2\) körrel koncentrikus \(\displaystyle \ell_2\) kört is érintik. Ezek az \(\displaystyle \ell_1\) és \(\displaystyle \ell_2\) körök közös külső és belső érintői. A körök helyzetéből adódóan pontosan négy ilyen egyenes szerkeszthető, és ez a szerkesztés is ismert, és a szerkesztés lépéseit itt is a feladat leírása utáni megjegyzésben közöljük.
Azaz \(\displaystyle d_1<2r_1\) és \(\displaystyle d_2 < 2 r_2\) esetén mindig négy megfelelő egyenes van, és ezek szerkeszthetők is.
Ezzel a feladatot (minden esetre kiterjedő diszkusszióval) megoldottuk.
Megjegyzés: A feladat leírása során felhasznált ,,alapszerkesztések'' leírása. A leírás során a feladat betűit és ábráit használjuk az egyszerűség kedvéért.
A külső \(\displaystyle O_1\) pontból adott \(\displaystyle \ell\) körhöz érintő szerkesztése: Szerkesszük meg \(\displaystyle O_1\) pont és az \(\displaystyle \ell\) kör \(\displaystyle O_2\) középpontját összekötő szakasz \(\displaystyle T\) felezőpontját, majd a \(\displaystyle T\) középpontból a \(\displaystyle TO_1\) sugárral rajzoljuk meg az \(\displaystyle O_1O_2\) szakasz Thalész-körét. A Thalész-körnek és az \(\displaystyle \ell\) körnek nyilván két metszéspontja van, ezt a két metszéspontot jelölje \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle F'\). Thalész tétele miatt az \(\displaystyle O_1F\) és az \(\displaystyle O_2F\) egyenesek érintik az \(\displaystyle \ell\) kört. Ezzel a szerkesztés elvégeztük, és ebben az esetben valóban pontosan két megfelelő egyenes, \(\displaystyle O_1F\) és \(\displaystyle O_1F'\) szerkeszthető.
Adott \(\displaystyle \ell_1\) és \(\displaystyle \ell_2\) körök közös belső- és külső érintőinek szerkesztése:
I) Ha az \(\displaystyle \ell_1\) és \(\displaystyle \ell_2\) körök sugarai egyenlőek a két külső érintő párhuzamos a centrálissal és könnyen szerkeszthető, míg a két belső érintő az \(\displaystyle O_1O_2\) felezőpontjából, mint külső pontból \(\displaystyle \ell_1\), vagy \(\displaystyle \ell_2\) körhöz húzott érintő, és így az előző esetben leírt módon szerkeszthető.
II) Tegyük fel a továbbiakban, hogy \(\displaystyle \ell_1\) kör sugara kisebb, mint \(\displaystyle \ell_2\) kör sugara.
IIa) Adott (egymással külső) körökhöz közös külső érintő szerkesztése. Szerkesszük meg az \(\displaystyle \ell_2\)-vel koncentrikus \(\displaystyle \ell_3\) kört, amelynek sugara a \(\displaystyle \ell_2\) és \(\displaystyle \ell_1\) sugarainak a különbsége, majd ehhez az \(\displaystyle \ell_3\) körhöz az előzőekben leírt módon húzzunk az \(\displaystyle O_1\) pontból, mint külső pontból érintőtket. Az érintők \(\displaystyle \ell_3\)-t érintsék a \(\displaystyle G\) és a \(\displaystyle H\) pontokban. \(\displaystyle O_2G\) egyenesének \(\displaystyle \ell_2\) körvonalával vett metszéspontját jelölje \(\displaystyle G'\). Húzzunk \(\displaystyle G'\)-n át \(\displaystyle O_1G\)-vel párhuzamost, ez lesz a két kör egyik közös külső érintője (a másik \(\displaystyle H\) pontból származó külső érintő hasonlóan szerkeszthető, vagy pedig az első közös érintő \(\displaystyle O_1O_2\) centrálisára való tükrözéssel).
IIb) Adott (egymással külső) körökhöz közös beső érintő szerkesztése szinte ugyanúgy megy, mint az előző IIa) pont. Szerkesszük meg az \(\displaystyle \ell_2\)-vel koncentrikus \(\displaystyle \ell_3\) kört, amelynek sugara a \(\displaystyle \ell_2\) és \(\displaystyle \ell_1\) sugarainak az összege (és innen ugyanaz...), majd ehhez az \(\displaystyle \ell_3\) körhöz az előzőekben leírt módon húzzunk az \(\displaystyle O_1\) pontból, mint külső pontból érintőket. Az érintő \(\displaystyle \ell_3\)-t érintse \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\) pontokban. \(\displaystyle O_2G\) egyenesének \(\displaystyle \ell_2\) körvonalával vett metszéspontját jelölje \(\displaystyle G'\). Húzzunk \(\displaystyle G'\)-n át \(\displaystyle O_1G\)-vel párhuzamost, ez lesz a két kör egyik közös belső érintője (a másik belső érintő hasonlóan szerkeszthető).
Statisztika:
A B. 5520. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai