 |
A B. 5520. feladat (2026. március) |
B. 5520. Adott a síkon két kör egymáson kívül, továbbá egy \(\displaystyle d_1\) és egy \(\displaystyle d_2\) hosszúságú szakasz. Hány olyan egyenes létezik, amely az első körből \(\displaystyle d_1\), a másodikból \(\displaystyle d_2\) hosszúságú húrt metsz ki?
Javasolta: Kiss Géza (Csömör)
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük az első \(\displaystyle k_1\)-gyel jelölt kör sugarát \(\displaystyle r_1\)- gyel, a másodi \(\displaystyle k_2\)-vel jelölt körét pedig \(\displaystyle r_2\)-vel. A feladat során feltesszük, hogy a \(\displaystyle d\), \(\displaystyle d_1\) és \(\displaystyle d_2\) szakaszhosszak pozitívak.
A feladat megoldása előtt bebizonyítunk egy (később többször felhasznált) lemmát.
Lemma: Az \(\displaystyle r\) sugarú körbe rajzolt \(\displaystyle d<2r\) hosszú húrok felezőpontjainak mértani helye: egy az eredeti körrel koncentrikus (kisebb) kör; és ez a kör (az eredeti kör, valamint a \(\displaystyle d\) szakaszhossz ismeretében) szerkeszthető. Továbbá valamennyi ilyen \(\displaystyle d\) hosszúságú húr éppen a felezőpontjában érinti ezt a kisebb kört.
A lemma bizonyítása: Használjuk a fenti ábrát, legyen a \(\displaystyle d\) hosszú húr két végpontja \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\), felezőpontja \(\displaystyle F\), a kör középpontja pedig \(\displaystyle O\). \(\displaystyle AOB\) háromszög \(\displaystyle OA=OB\) miatt egyenlőszárú, így az \(\displaystyle AB\) alap \(\displaystyle F\) felezőpontjára \(\displaystyle OF \perp AB\), továbbá \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle O\)-tól (Pitagorasz tétele miatt) \(\displaystyle OF=\sqrt{r^2-\frac{d^2}{4}}\) távolságra van. Azaz a húr helyzetétől függetlenül az \(\displaystyle OF\) távolság állandó, így a felezőpontok mértani helye valóban az \(\displaystyle O\)-tól azonos \(\displaystyle 0<\sqrt{r^2-\frac{d^2}{4}}\) távolságra lévő pontok halmaza a síkon, vagyis valóban kör. \(\displaystyle OF \perp AB\) miatt pedig a húr érinti ezt a kört.
A kis kör szerkesztése is nagyon egyszerű, rajzoljunk meg egy tetszőleges \(\displaystyle d\) hosszú húrt a körben, szerkesszük meg a húr \(\displaystyle F\) felezőpontját, majd rajzoljuk meg az \(\displaystyle O\) középpontú, \(\displaystyle OF\) sugarú kört. A továbbiakban erre az \(\displaystyle O_2\) középpontú kisebb körre \(\displaystyle \ell\) körként fogunk hivatkozni.
Ezzel a lemmát bebizonyítottuk. Most lássuk az eredeti feladat megoldását. A leírás során a lehetséges eseteket \(\displaystyle d_1\) és \(\displaystyle d_2\) hossza alapján négy esetre bontjuk.
I.eset: Ha \(\displaystyle d_1>2 r_1\), vagy \(\displaystyle d_2 > 2 r_2\), akkor nyilván nincs ilyen egyenes (azaz nem is szerkeszthető).
II.eset: Ha \(\displaystyle d_1=2 r_1\), és \(\displaystyle d_2 = 2 r_2\), akkor megint nyilvánvaló módon egyetlen megfelelő egyenes van, a \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) körök centrálisa (azaz a két kör középpontját összekötő egyenes), és ennek szerkesztése is nyilvánvaló.
III.eset: Ha \(\displaystyle d_1=2r_1\) és \(\displaystyle d_2 < 2 r_2\), akkor két megfelelő egyenes van, és ezek szerkeszthetők. Ennek igazolása következik. (Ehhez használjuk a második ábrát és jelöléseit.) \(\displaystyle d_1=2r_1\) miatt a \(\displaystyle k_1\) kör húrja nyilván átmérő, és így az egyenes átmegy a \(\displaystyle k_1\) kör középpontján. Továbbá a lemmánk miatt az egyenes a \(\displaystyle k_2\) kör belsejében érinti a \(\displaystyle d_2\) hosszú húrokhoz tartozó (és szerkeszthető) kisebb \(\displaystyle \ell\) kört.
Azaz a feladat a következő: a \(\displaystyle k_1\) kör \(\displaystyle O_1\) középpontjából (mint külső pontból) a (feltehetően már megszerkesztett) \(\displaystyle \ell\) körhöz érintőt kell húznunk. Ez a szerkesztés ismert, és tetszőleges \(\displaystyle O_1\) esetén pontosan két megfelelő egyenest kapunk. (A szerkesztés lépéseit a feladat leírása utáni megjegyzésben közöljük.)
III'.eset: Ha \(\displaystyle d_1<2r_1\) és \(\displaystyle d_2 = 2 r_2\), akkor az előző esethez hasonlóan szintén két megfelelő egyenes van, és ezek az előző esethez hasonlóan szerkeszthetők.
IV.eset: Ha pedig \(\displaystyle d_1<2r_1\) és \(\displaystyle d_2 < 2 r_2\), akkor négy megfelelő egyenes van, és ezek szerkeszthetők. Ennek igazolása következik. (Ehhez használjuk a harmadik ábrát és jelöléseit.)
A lemmánk alapján olyan egyeneseket keresünk, amik a \(\displaystyle k_1\) körrel koncentrikus \(\displaystyle \ell_1\) kört is érintik, és a \(\displaystyle k_2\) körrel koncentrikus \(\displaystyle \ell_2\) kört is érintik. Ezek az \(\displaystyle \ell_1\) és \(\displaystyle \ell_2\) körök közös külső és belső érintői. A körök helyzetéből adódóan pontosan négy ilyen egyenes szerkeszthető, és ez a szerkesztés is ismert, és a szerkesztés lépéseit itt is a feladat leírása utáni megjegyzésben közöljük.
Azaz \(\displaystyle d_1<2r_1\) és \(\displaystyle d_2 < 2 r_2\) esetén mindig négy megfelelő egyenes van, és ezek szerkeszthetők is.
Ezzel a feladatot (minden esetre kiterjedő diszkusszióval) megoldottuk.
Megjegyzés: A feladat leírása során felhasznált ,,alapszerkesztések'' leírása. A leírás során a feladat betűit és ábráit használjuk az egyszerűség kedvéért.
A külső \(\displaystyle O_1\) pontból adott \(\displaystyle \ell\) körhöz érintő szerkesztése: Szerkesszük meg \(\displaystyle O_1\) pont és az \(\displaystyle \ell\) kör \(\displaystyle O_2\) középpontját összekötő szakasz \(\displaystyle T\) felezőpontját, majd a \(\displaystyle T\) középpontból a \(\displaystyle TO_1\) sugárral rajzoljuk meg az \(\displaystyle O_1O_2\) szakasz Thalész-körét. A Thalész-körnek és az \(\displaystyle \ell\) körnek nyilván két metszéspontja van, ezt a két metszéspontot jelölje \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle F'\). Thalész tétele miatt az \(\displaystyle O_1F\) és az \(\displaystyle O_2F\) egyenesek érintik az \(\displaystyle \ell\) kört. Ezzel a szerkesztés elvégeztük, és ebben az esetben valóban pontosan két megfelelő egyenes, \(\displaystyle O_1F\) és \(\displaystyle O_1F'\) szerkeszthető.
Adott \(\displaystyle \ell_1\) és \(\displaystyle \ell_2\) körök közös belső- és külső érintőinek szerkesztése:
I) Ha az \(\displaystyle \ell_1\) és \(\displaystyle \ell_2\) körök sugarai egyenlőek a két külső érintő párhuzamos a centrálissal és könnyen szerkeszthető, míg a két belső érintő az \(\displaystyle O_1O_2\) felezőpontjából, mint külső pontból \(\displaystyle \ell_1\), vagy \(\displaystyle \ell_2\) körhöz húzott érintő, és így az előző esetben leírt módon szerkeszthető.
II) Tegyük fel a továbbiakban, hogy \(\displaystyle \ell_1\) kör sugara kisebb, mint \(\displaystyle \ell_2\) kör sugara.
IIa) Adott (egymással külső) körökhöz közös külső érintő szerkesztése. Szerkesszük meg az \(\displaystyle \ell_2\)-vel koncentrikus \(\displaystyle \ell_3\) kört, amelynek sugara a \(\displaystyle \ell_2\) és \(\displaystyle \ell_1\) sugarainak a különbsége, majd ehhez az \(\displaystyle \ell_3\) körhöz az előzőekben leírt módon húzzunk az \(\displaystyle O_1\) pontból, mint külső pontból érintőtket. Az érintők \(\displaystyle \ell_3\)-t érintsék a \(\displaystyle G\) és a \(\displaystyle H\) pontokban. \(\displaystyle O_2G\) egyenesének \(\displaystyle \ell_2\) körvonalával vett metszéspontját jelölje \(\displaystyle G'\). Húzzunk \(\displaystyle G'\)-n át \(\displaystyle O_1G\)-vel párhuzamost, ez lesz a két kör egyik közös külső érintője (a másik \(\displaystyle H\) pontból származó külső érintő hasonlóan szerkeszthető, vagy pedig az első közös érintő \(\displaystyle O_1O_2\) centrálisára való tükrözéssel).
IIb) Adott (egymással külső) körökhöz közös beső érintő szerkesztése szinte ugyanúgy megy, mint az előző IIa) pont. Szerkesszük meg az \(\displaystyle \ell_2\)-vel koncentrikus \(\displaystyle \ell_3\) kört, amelynek sugara a \(\displaystyle \ell_2\) és \(\displaystyle \ell_1\) sugarainak az összege (és innen ugyanaz...), majd ehhez az \(\displaystyle \ell_3\) körhöz az előzőekben leírt módon húzzunk az \(\displaystyle O_1\) pontból, mint külső pontból érintőket. Az érintő \(\displaystyle \ell_3\)-t érintse \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\) pontokban. \(\displaystyle O_2G\) egyenesének \(\displaystyle \ell_2\) körvonalával vett metszéspontját jelölje \(\displaystyle G'\). Húzzunk \(\displaystyle G'\)-n át \(\displaystyle O_1G\)-vel párhuzamost, ez lesz a két kör egyik közös belső érintője (a másik belső érintő hasonlóan szerkeszthető).
Statisztika:
70 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Ali Richárd, Antal Tamás Botond, Balla Ignác , Beinschroth Máté, Benedek Olivér , Blaskovics Ádám, Bodor Ádám, Czanik Dániel, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Fodor Barna, Gál Mózes, József Áron, Kun Milán, Kun Zsófia, Kurucz Lilien Jázmin, Li Mingdao, Lovas Márk, Maróti Olga, Mikó Hédi Irma, Miszori Gergő, Miszori Márton, Molnár-Sáska Tamás, Nagy 707 Botond, Pataki Gergő, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Rotter Szabolcs, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Schmidt Botond, Sha Jingyuan, Sógor-Jász Soma, Taczman Vince, Tóth Luca, Varsányi Benedek, Vincze Marcell, Weng Chenxin, Wiener Marcell. 3 pontot kapott: 11 versenyző. 2 pontot kapott: 14 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai