 |
A B. 5522. feladat (2026. március) |
B. 5522. Van-e olyan pozitív egész számokból álló \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle \ldots\) sorozat és \(\displaystyle N\) pozitív egész, hogy minden \(\displaystyle n\geq N\) esetén \(\displaystyle a_n<a_{n+1}<a_1+a_2+\ldots+a_n\) és \(\displaystyle a_{n+1}\mid a_1+a_2+\ldots+a_n\)?
Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Megmutatjuk, hogy nincs ilyen sorozat.
Ehhez indirekt tegyük fel, hogy van ilyen egészekből álló sorozat. Minden \(\displaystyle n \ge N\)-re:
\(\displaystyle a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = d_{n} \cdot a_{n+1},\)
ahol \(\displaystyle d_{n} > 1\) egész szám.
Ekkor:
\(\displaystyle a_{n+1} = (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n+1}) - (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) = d_{n+1} \cdot a_{n+2} - d_{n} \cdot a_{n+1} \)
azaz
\(\displaystyle d_{n+1} \cdot a_{n+2} = (d_{n} + 1) \cdot a_{n+1}.\)
Mivel \(\displaystyle a_{n+2} > a_{n+1}\), ezért \(\displaystyle d_{n+1} < d_{n} + 1\), azaz \(\displaystyle d_{n+1} \le d_{n}\). Eszerint a \(\displaystyle d_N,d_{N+1},d_{N+2},...\) sorozat csupa \(\displaystyle 1\)-nél nagyobb pozitív egészből áll, és monoton csökkenő, innen következik, hogy elegendően nagy \(\displaystyle n\)-re, mondjuk \(\displaystyle n \ge M\) esetén \(\displaystyle d_{n} = d\), ahol \(\displaystyle d > 1\) konstans pozitív egész. Ekkor bármely \(\displaystyle n \geq M\) esetén teljesül
\(\displaystyle a_{n+1} = \frac{d+1}{d} \cdot a_{n} . \tag{1}\)
Legyen \(\displaystyle p \mid d\) pozitív prím, és tegyük fel, hogy \(\displaystyle p\) az \(\displaystyle a_M\) prímfelbontásában \(\displaystyle k\)-szor szerepel, azaz \(\displaystyle p^k \mid a_M\), de \(\displaystyle p^{k+1} \nmid a_M\).
A (1) többszöri felhasználásával:
\(\displaystyle a_{M+k+1}=a_M\cdot \left(\frac{d+1}{d}\right)^{k+1}= \dfrac{a_M \cdot (d+1)^{k+1}}{d^{k+1}}.\)
Ekkor azonban (mivel \(\displaystyle d\) és \(\displaystyle d+1\) relatív prímek) \(\displaystyle p^{k+1}\) nem osztja az \(\displaystyle a_{M+k+1}\)-re kapott tört számlálóját, viszont osztja a nevezőjét, azaz \(\displaystyle a_{M+k+1}\) nem egész, ellentmondásban a feltevésünkkel.
Ezzel igazoltuk, hogy valóban nincs ilyen sorozat.
Statisztika:
A B. 5522. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai