A B. 5522. feladat (2026. március)

B. 5522. Van-e olyan pozitív egész számokból álló \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle \ldots\) sorozat és \(\displaystyle N\) pozitív egész, hogy minden \(\displaystyle n\geq N\) esetén \(\displaystyle a_n<a_{n+1}<a_1+a_2+\ldots+a_n\) és \(\displaystyle a_{n+1}\mid a_1+a_2+\ldots+a_n\)?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy nincs ilyen sorozat.

Ehhez indirekt tegyük fel, hogy van ilyen egészekből álló sorozat. Minden \(\displaystyle n \ge N\)-re:

\(\displaystyle a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = d_{n} \cdot a_{n+1},\)

ahol \(\displaystyle d_{n} > 1\) egész szám.

Ekkor:

\(\displaystyle a_{n+1} = (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n+1}) - (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) = d_{n+1} \cdot a_{n+2} - d_{n} \cdot a_{n+1} \)

azaz

\(\displaystyle d_{n+1} \cdot a_{n+2} = (d_{n} + 1) \cdot a_{n+1}.\)

Mivel \(\displaystyle a_{n+2} > a_{n+1}\), ezért \(\displaystyle d_{n+1} < d_{n} + 1\), azaz \(\displaystyle d_{n+1} \le d_{n}\). Eszerint a \(\displaystyle d_N,d_{N+1},d_{N+2},...\) sorozat csupa \(\displaystyle 1\)-nél nagyobb pozitív egészből áll, és monoton csökkenő, innen következik, hogy elegendően nagy \(\displaystyle n\)-re, mondjuk \(\displaystyle n \ge M\) esetén \(\displaystyle d_{n} = d\), ahol \(\displaystyle d > 1\) konstans pozitív egész. Ekkor bármely \(\displaystyle n \geq M\) esetén teljesül

\(\displaystyle a_{n+1} = \frac{d+1}{d} \cdot a_{n} . \tag{1}\)

Legyen \(\displaystyle p \mid d\) pozitív prím, és tegyük fel, hogy \(\displaystyle p\) az \(\displaystyle a_M\) prímfelbontásában \(\displaystyle k\)-szor szerepel, azaz \(\displaystyle p^k \mid a_M\), de \(\displaystyle p^{k+1} \nmid a_M\).

A (1) többszöri felhasználásával:

\(\displaystyle a_{M+k+1}=a_M\cdot \left(\frac{d+1}{d}\right)^{k+1}= \dfrac{a_M \cdot (d+1)^{k+1}}{d^{k+1}}.\)

Ekkor azonban (mivel \(\displaystyle d\) és \(\displaystyle d+1\) relatív prímek) \(\displaystyle p^{k+1}\) nem osztja az \(\displaystyle a_{M+k+1}\)-re kapott tört számlálóját, viszont osztja a nevezőjét, azaz \(\displaystyle a_{M+k+1}\) nem egész, ellentmondásban a feltevésünkkel.

Ezzel igazoltuk, hogy valóban nincs ilyen sorozat.

Statisztika:

47 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ali Richárd, Baranyi Ernő, Beinschroth Máté, Benedek Olivér , Bodó Rókus Dániel, Bodor Ádám, Budai Máté, Danka Emma, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Fajszi Horka, Flavio Romagnoli, Hajba Milán, Hideg János, Lovas Márk, Miszori Gergő, Miszori Márton, Papp Mátyás, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Schmidt Botond, Sógor-Jász Soma, Várhegyi Hanna, Varsányi Benedek, Vincze Marcell, Wiener Marcell, Winkler-Antal Dalma.
4 pontot kapott:	Li Mingdao, Szabó-Caceres Alan Martin, Tóth László Pál.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai