A B. 5523. feladat (2026. március)

B. 5523. Legfeljebb hány különböző egész gyöke lehet az egész együtthatós \(\displaystyle p(x)=a_{12} x^{12}+a_{11} x^{11}+\ldots+a_2 x^2+a_1 x+a_0\) polinomnak, ha

\(\displaystyle a_0+a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}+a_{12}=0 \quad \text{és} \quad a_1+a_3+a_5+a_7+a_9+a_{11} =12? \)

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek \(\displaystyle p\) polinom különböző egész gyökei \(\displaystyle x_1,\dots,x_k\). A \(\displaystyle p(x)\) egész együtthatós polinomot az 1 főegyütthatójú \(\displaystyle (x-x_1)\cdots(x-x_k)\) polinommal elosztva az egész együtthatós \(\displaystyle q(x)\) polinomot kapjuk, ekkor tehát

\(\displaystyle p(x)=(x-x_1)\cdots(x-x_k)q(x).\)

A megadott feltételek alapján \(\displaystyle p(1)=0+12=12\) és \(\displaystyle p(-1)=0-12=-12\), ezért

\(\displaystyle (1-x_1)\cdots(1-x_k)q(1)=12\)

és

\(\displaystyle (-1-x_1)\cdots(-1-x_k)q(-1)=-12.\)

A \(\displaystyle \pm 1-x_i\) számok és \(\displaystyle q(1),q(-1)\) is mind egészek, így a 12 osztói. Az \(\displaystyle 1-x_i\) ráadásul olyan osztója a 12-nek, amiből 2-t levonva szintén a 12 egy osztóját kapjuk, így \(\displaystyle 1-x_i\) értéke lehet: \(\displaystyle 6,4,3,1,-1,-2,-4\). Ekkor \(\displaystyle x_i\) értéke rendre: \(\displaystyle -5,-3,-2,0,2,3,5\).

Amikor \(\displaystyle x_i\) páratlan, akkor \(\displaystyle 8\mid (1-x_i)(-1-x_i)\), hiszen mindkét tényező páros és az egyik 4-gyel is osztható. Így legfeljebb egy \(\displaystyle x_i\) gyök lehet páratlan, hiszen \(\displaystyle -p(1)p(-1)=12^2=2^4\cdot 3^2\) nem osztható \(\displaystyle 8^2=2^6\)-nal. Tehát \(\displaystyle k\leq 4\), és \(\displaystyle k=4\) csak úgy lehetséges, ha az egész gyökök \(\displaystyle -2,0,2\) és még a \(\displaystyle -5,-3,3,5\) számok valamelyike. Páratlan \(\displaystyle x_i\) (vagyis \(\displaystyle x_i\in\{-5,-3,3,5\}\)) esetén \(\displaystyle 1-x_i\) és \(\displaystyle -1-x_i\) közül az egyik 1, a másik 2 darab 2-es prímtényezőt tartalmaz (a 4-gyel osztható mindig \(\displaystyle \pm4\), a másik pedig \(\displaystyle \pm2\) vagy \(\displaystyle \pm6\)), páros \(\displaystyle x_i\) esetén pedig \(\displaystyle 1-x_i\) és \(\displaystyle 1+x_i\) is páratlanok. Ezért \(\displaystyle k=4\) esetén \(\displaystyle q(1)\) és \(\displaystyle q(-1)\) közül az egyik páratlan, a másik pedig páros kellene, hogy legyen, hiszen a \(\displaystyle \pm12\)-ben két darab 2-es tényező szerepel. Ez viszont lehetetlen, hiszen a \(\displaystyle q\) polinom egész együtthatós, így \(\displaystyle 2\mid q(1)-q(-1)\). Tehát \(\displaystyle k=4\) nem lehetséges, és ezért \(\displaystyle k\leq 3\).

Az előző gondolatmenetből az is következik, hogy \(\displaystyle k=3\) esetén a három különböző egész gyök szükségképpen \(\displaystyle -2,0,2\). Ekkor \(\displaystyle (1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=-3\) és \(\displaystyle (-1-x_1)(-1-x_2)(-1-x_3)=3\), és így \(\displaystyle q(1)=q(-1)=-4\) kell legyen.

Mivel \(\displaystyle p\) foka legfeljebb 12, így \(\displaystyle q\) foka legfeljebb \(\displaystyle 12-3=9\) lehet. Ilyen egész együtthatós \(\displaystyle q\) polinom létezik, például a \(\displaystyle q(x)\equiv -4\) konstans polinom megfelelő. Ekkor \(\displaystyle p(x)=-4(x-2)x(x+2)=-4x^3+16x\), amire a feltételek valóban teljesülnek, hiszen \(\displaystyle a_1=16,\ a_3=-4,\ a_0=a_2=a_5=a_6=\dots=a_{12}=0\).

Tehát a \(\displaystyle p\) polinomnak legfeljebb három különböző egész gyöke lehet.

Statisztika:

A B. 5523. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. márciusi matematika feladatai